ELETROMAGNETISMO - PARTE 1 - Edição 01.2011
Eduardo Fontana, PhD
Professor Titular
Departamento de Eletrônica e Sistemas
UFPE

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana



Capítulo 1 - Análise Vetorial

1.1 Campo Vetorial e Escalar
1.2 Álgebra Vetorial
1.3. Alguns sistemas de coordenadas
1.4. Transformação de coordenadas e vetores
1.5. Integrais
1.6. Operações diferenciais com vetores
1.7. Identidades vetoriais

1.8. Alguns teoremas da análise vetorial

Problemas


 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.1 Campo Vetorial e Escalar

 

            O eletromagnetismo lida essencialmente com grandezas escalares e vetoriais.  Por grandeza escalar,  entende-se uma grandeza física que possa ser quantificada por um único parâmetro, como por exemplo, a massa de um objeto ou a carga de um corpo carregado.  Uma grandeza vetorial, por outro lado, requer parâmetros adicionais para uma mais completa especificação, como por exemplo, magnitude, linha de ação e sentido. Esse é o caso, por exemplo, da velocidade de um objeto em movimento. Um outro conceito que surge no estudo de eletromagnetismo é o de campo. Na maioria das situações de interesse o campo é uma forma conveniente de representação do efeito produzido por uma fonte física em cada ponto de espaço, a cada instante de tempo.  O campo será escalar ou vetorial,  se a grandeza física a ele associada for de natureza escalar ou vetorial, respectivamente.

 

O estudo detalhado do eletromagnetismo requer familiaridade com as propriedades de vetores, escalares e de campos escalares e vetoriais. Algumas destas propriedades são examinadas a seguir.

1.2 Álgebra Vetorial


            Um vetor é representado geometricamente por um segmento de reta orientado conforme ilustrado na Fig. 1.1, onde o comprimento da seta é proporcional a magnitude do vetor, e a orientação da seta indica a direção e sentido do vetor. 


Caixa de texto:  



Fig.1.1 Representação geométrica de um vetor











Vetores satisfazem algumas propriedades quanto a soma e produto, descritas a seguir:

 

 

 

1.2.1 Soma


            A soma de vetores é realizada geometricamente, a partir do deslocamento paralelo de um dos vetores até a extremidade do outro, conforme ilustrado na Fig.1.2.  O vetor resultante se estende na direção da diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores.  A partir dessa definição, a soma de vetores satisfaz as propriedades:

 

·        Comutatividade:     

·        Associatividade:     

 

 

 

Caixa de texto:  

Fig.1.2 Procedimento geométrico para efetuar a soma entre dois vetores.













 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

1.2.2 Produto

 

            Outro tipo de operação entre vetores é o produto, que pode resultar em uma grandeza escalar ou vetorial.

 

Produto escalar

 

            O produto escalar entre dois vetores  e  é definido por


                                                                 (1.1)


 


 

onde  e  são as magnitudes dos vetores  e , respectivamente, e é o menor dos ângulos entre eles.  A partir dessa definição, a magnitude de um vetor pode ser obtida da relação

 



A operação produto escalar, satisfaz algumas propriedades, tais como:

·        Comutatividade:     

·        Distributividade:     

 

 

Produto vetorial

 

            Este tipo de produto gera como resultado um vetor.  Define-se esta operação pela relação

 

                                                                 (1.2)

 

onde, conforme ilustrado na Fig.1.3, é o menor dos ângulos entre os vetores , û é um vetor de magnitude unitária, perpendicular ao plano que contém os vetores , e cujo sentido é aquele do polegar, quando simula-se com a mão direita a rotação do vetor  em direção ao vetor .

 

 

Fig.1.3 Disposição dos vetores na operação produto vetorial.


Algumas das propriedades satisfeitas pelo produto vetorial seguem diretamente da definição e das propriedades de soma de vetores. Duas dessas são:

 

·        Anti-comutatividade:          

·        Distributividade:                 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.2.3 Decomposição de vetores

 

            No espaço tridimensional, um vetor arbitrário pode ser especificado em termos de três vetores ortogonais.  Quando esses vetores possuem magnitude unitária eles formam uma base ortonormal no espaço tridimensional.  Uma base ortonormal de vetores â1 , â2 e â3  satisfaz as seguintes propriedades:

 

 

A base ortonormal é também uma base cíclica de vetores se

 

,

onde:

 

 

            Uma seqüência cíclica a partir de 123 gera como resultado as combinações, 231, 312, etc. Uma seqüência acíclica é obtida trocando-se um dos índices da seqüência cíclica, como por exemplo, a seqüência 213.

 

            A decomposição de um vetor  em uma base cíclica ortonormal requer  a determinação dos coeficientes  , tal que

 

 .

 

Os coeficientes da decomposição são denominados de projeções do vetor  nos vetores de base, e essas projeções são obtidas simplesmente a partir da operação produto escalar com cada vetor de base.  Por exemplo, a projeção A1 é obtida do produto escalar

 

 

Realizando-se a mesma operação com os outros vetores de base, obtém-se

 

 

 

            Utilizando-se a decomposição de vetores em uma base cíclica ortonormal, as operações de soma, produto escalar e produto vetorial entre dois vetores  podem ser representadas respectivamente por,

 

 

 

 

Para o produto vetorial, a soma resulta em


              (1.3)



que também pode ser posta na forma de um determinante,


            


 
(1.4)

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


Pode-se simplificar a notação de somatório utilizada nas várias operações descritas anteriormente, convencionando-se que a ocorrência de índices repetidos no segundo membro dessas operações indique somatório no índice correspondente. Por exemplo, na operação produto escalar, pode-se representar o resultado na forma simplificada

 

                                                                               (1.5)

 

onde a dupla ocorrência do índice i no segundo membro da Eq.(1.5) indica .  No caso do produto vetorial a representação simplificada é da forma

 

                                                                  (1.6)

 

onde a dupla ocorrência dos índices i, j e k, no segundo membro indica a soma tripla .

 

 

 

 

 

1.3. Alguns sistemas de coordenadas

 

            Em problemas de teoria de campo, a escolha de um sistema de coordenadas adequado é fundamental para obtenção de representações simplificadas dos campos envolvidos. O sistema mais adequado é geralmente determinado levando-se em conta a geometria da região de existência dos campos. Vários sistemas de coordenadas podem ser definidos para atender uma larga gama de situações.  Os três sistemas de coordenadas mais comuns e freqüentemente utilizados no estudo de eletromagnetismo serão tratados no texto, e esses são descritos a seguir.

 

1.3.1 Coordenadas cartesianas

 

            Neste sistema, as coordenadas de um ponto no espaço são definidas a partir de três eixos x, y , z, perpendiculares aos planos x = 0, y = 0 e z = 0,  respectivamente, conforme ilustrado na Fig.1.4.  Qualquer vetor neste sistema de coordenadas pode ser representado como combinação linear dos três vetores unitários, â1x, â2y, â3z, paralelos aos eixos x, y, z, respectivamente. A origem do sistema cartesiano é a interseção dos planos x=0 , y=0 e z=0.  A localização de um ponto no espaço pode ser representada pelo vetor posição

 

 

tendo uma das extremidades na origem do sistema, conforme ilustrado na Fig.1.4.  A distância do ponto P a origem é obtida de,

 

 

 

Fig.1.4 Representação de um ponto e vetores de base no sistema de coordenadas cartesianas.

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

 

1.3.2 Coordenadas cilíndricas

 

            Neste sistema as coordenadas de um ponto no espaço são representadas pelos parâmetros:

 

r  = distância até a origem da projeção do ponto no plano xy.

ϕ = ângulo azimutal, que representa o desvio angular do vetor projeção no plano xy relativamente ao eixo x.

z =  coordenada axial do ponto.

 

A base de vetores neste sistema é formada pelos vetores unitários ortogonais as superfícies,

 

r = constante, que representa a equação de uma superfície cilíndrica,

ϕ = constante, que representa a equação de um semi-plano,

z = constante, que representa a equação de um plano.

 

            Essas superfícies e os vetores unitários correspondentes,

 

,

estão representados na Fig.1.5. É importante observar que a seqüência de vetores unitários da base deste sistema, está escrita na forma de uma seqüência cíclica, conforme definido anteriormente. Notemos também que diferentemente do que ocorre com os vetores de base do sistema de coordenadas cartesianas, neste sistema os dois primeiros vetores de base variam com a coordenada ϕ.

 



 

 

Fig.1.5  Vetores de base e superfícies coordenadas do sistema de coordenadas cilíndricas.

 

 

1.3.3 Coordenadas esféricas

 

            As coordenadas de um ponto neste sistema de coordenadas são representadas pelos parâmetros ilustrados na Fig.1.6, a saber:

 

R = distância do ponto à origem,

θ = ângulo polar,  que representa o desvio angular do vetor posição em relação ao eixo z,

ϕ = ângulo azimutal, comum ao sistema de coordenadas cilíndricas.

 

            A base deste sistema é formada pelos vetores,

 

,

 

que são perpendiculares as superfícies,

 

R = constante , que representa a superfície de uma esfera.

θ = constante ,  que representa a superfície de um cone.

ϕ = constante ,  que representa a superfície de um semi-plano.

 

            O espaço tridimensional é gerado pelas condições,   e . As superfícies coordenadas, bem como os vetores de base estão ilustrados na Fig. 1.6.  Neste sistema de coordenadas,  o vetor posição é representado por  .

 



 

Fig.1.6 Base de vetores e superfícies coordenadas do sistema de coordenadas esféricas.

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.4. Transformação de coordenadas e vetores

 

1.4.1   Cartesianas-Cilíndricas

 

            Existem situações em que torna-se necessária a transformação de vetores e coordenadas de um sistema de coordenadas para outro.  Considere-se inicialmente um vetor  representado no sistema de coordenadas cartesianas. Qual seria a representação desse vetor, por exemplo, no sistema de coordenadas cilíndricas?

 

Essa questão pode ser resolvida com o emprego das propriedades básicas de vetores.  Para isso, seja  da forma

 

 

O objetivo é determinar as componentes   de forma que o vetor  assuma a representação

 

 

As componentes incógnitas podem ser obtidas pelo cálculo das projeções

 

 

Os produtos escalares entre vetores unitários nessas últimas expressões, são obtidos com base na Fig.1.7, resultando em,

 

 

Caixa de texto:  

Fig.1.7 Disposição dos vetores unitários dos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas no plano xy.
















portanto,

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

            Esse sistema de equações lineares relacionando as projeções no sistema de coordenadas cilíndricas àquelas correspondentes ao sistema de coordenadas cartesianas pode ser posto na forma matricial

 

e essa forma matricial determina a lei de transformação de vetores entre os dois sistemas. 

 

Pode-se representar a lei de transformação através da equação matricial

 

                                                                         (1.7)

 

onde,

 

e

 

            Nas Eqs.(1.7) e (1.8), foi introduzida a representação matricial de vetores em um sistema de coordenadas.  Com se pode observar na Fig.1.7, o efeito da matriz  é produzir uma rotação do sistema xy, de radianos no sentido anti-horário, em torno do eixo z, A matriz   possui um determinante unitário e sua inversa é igual a sua transposta.  Essa matriz é portanto uma matriz unitária e satisfaz a relação

 

onde

 

é a matriz identidade.

 

            Matrizes de transformação resultantes de rotação ou translação de eixos são unitárias pois essas transformações não alteram a magnitude de um vetor ou mesmo a orientação relativa entre vetores. Para demonstração dessa afirmativa, seja a operação produto escalar entre vetores, que na representação matricial assume a forma

 

                    (1.9)

Transformações de rotação ou translação de eixos não alteram a magnitude e orientação relativa de vetores e se tal transformação for representada pela matriz ,  tal que

 

                                                              (1.10)

 

o produto escalar no novo sistema de coordenadas pode também ser escrito como,

 

                     (1.11)

 

Igualando-se as Eqs. (1.9) e (1.11), resulta,

 

 

e essa última relação só se verifica se a matriz  satisfizer a propriedade

 

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.4.2   Cilíndricas-Esféricas

 

            Seguindo o procedimento descrito na seção anterior, considere-se agora o vetor  expresso em coordenadas cilíndricas e a obtenção de sua representação em coordenadas esféricas.  Seja portanto,

 

 

e quer-se determinar a representação correspondente em coordenadas esféricas

 

 

Seguindo as etapas já descritas na seção anterior, e com base na Fig. 1.8,  obtém-se

 

 

que pode ser posto na forma,

 

 

com,

 

                                                 (1.12)

 

A transformação inversa é obtida de,

 

 

 

Fig.1.8  Disposição relativa dos vetores de base nos sistemas de coordenadas cilíndrica e esférica.

 

1.4.3   Cartesianas-Esféricas

 

            Essa transformação é obtida pela aplicação sucessiva das transformações anteriores,  ou seja,

 

 

 

 

e a transformação inversa é simplesmente,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

1.5. Integrais

 

            Em eletromagnetismo operações de integração e diferenciação são geralmente efetuadas no espaço tridimensional e envolvem campos escalares e vetoriais. Essas operações são revisadas a seguir.

 

1.5.1 Integral de linha de uma função

 

            Seja f(x,y,z) uma função definida em uma região do espaço tridimensional e uma curva ou caminho C contida nessa região.  A equação de uma curva no espaço tridimensional é obtida a partir da interseção de duas superfícies, cada uma representada por uma relação entre coordenadas do tipo,

 

S(x,y,z) = 0

 

onde S é uma função arbitrária das variáveis x , y e z.  Conseqüentemente, uma curva no espaço tridimensional corresponde a solução do sistema de equações

 

 

Define-se a integral de linha de f sobre C, com respeito a variável x, pela relação

 

 

onde o subscrito C sob o sinal de integração implica que a função escalar f(x,y,z) é calculada sobre os pontos compondo o caminho C, resultando em uma função fC(x,y,z).  Portanto, para efetuar-se esta integração é necessária a utilização do sistema de equações definindo a curva C, o que implica

 

 

Definições semelhantes se aplicam a integrais de linha com respeito as variáveis y e z ou com respeito a variáveis compondo sistemas de coordenadas curvilíneas em geral.

 

Exemplo 1.1: Seja a função f(x,y,z)=2x+y+z2 e o caminho C, limitado pelos pontos (0,0,0) e (1,1,1) e definido pela interseção entre os planos,

 

 

Para calcular a integral de f sobre C com respeito a variável y, utilizam-se as duas equações anteriores para obter,

 

 

e portanto

 

            A integral de linha com respeito a uma das coordenadas do caminho é apenas um caso particular da situação mais geral envolvendo a integração com respeito ao deslocamento ao longo do caminho.  Seja l uma variável que mede o comprimento ao longo da curva C.  A integral de linha de f sobre C com respeito a variável l é definida pela relação,

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


            É possível reduzir-se essa última expressão para uma integral com respeito a uma das variáveis do sistema de coordenadas considerado, no caso, o sistema de coordenadas cartesianas.  Para isso, seja o vetor tendo magnitude dl e direção tangente a curva C. Sua decomposição em coordenadas cartesianas é dada por

 

 

Para efetuar-se o cálculo da integral com respeito a variável x, por exemplo,  calcula-se o efeito de um pequeno incremento dx sobre as coordenadas  y e z da curva C, resultando em,

 

 

portanto,

 

 

 

e a integração com respeito a variável l reduz-se a,

 

 

            No cálculo dessa última integral, é necessário expressar-se as variáveis y e z em termos da variável x, o que equivale ao cálculo da função f sobre a curva C.

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.5.2 Integral de linha de um vetor

 

            A função escalar no integrando da integral de linha pode representar uma das componentes de um campo vetorial .  Seja um caminho C e um vetor  tangente a curva C em cada um de seus pontos.  Define-se a integral de linha da projeção de  sobre C por,

 

 

Dados dl e , define-se o vetor deslocamento diferencial ao longo da curva por, ,  e a última integral pode ser posta na forma,

 

 

            Para um caminho formando uma curva fechada, denota-se

 

 

Essa última integral é também denominada de circulação de  sobre C.

 

            A decomposição do vetor deslocamento diferencial nos sistemas de coordenadas cilíndrica e esférica é obtida com base nas Figs. 1.9a e 1.9b e a integral de linha de um vetor,  nos três sistemas de coordenadas considerados,  pode ser expressa como a soma de integrais com respeito a uma única variável conforme delineado a seguir,

 

     Cartesianas

 

 

     Cilíndricas

 

     Esféricas

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

                 

 

         (a)                              (b)

 

Fig.1.9 (a) Projeções no plano xy do vetor deslocamento diferencial no sistema de coordenadas cilíndricas. (b) Componentes do vetor deslocamento diferencial no sistema de coordenadas esféricas.

 

 

Exemplo 1.2:  Para o caminho fechado C mostrado na Fig.1.10 calcular a circulação do campo vetorial, em coordenadas cilíndricas.

 

Primeiramente transforma-se  utilizando-se a matriz de transformação dada pela Eq.(1.8)

Caixa de texto:  



Fig. 1.10  Geometria utilizada no Exemplo 1.2.

 

 

onde fez-se uso das transformações de coordenadas,

 

 

Portanto em coordenadas cilíndricas,

 

 

 

Com base na Fig.1.10, as equações para os caminhos 1, 2 e 3 em coordenadas cilíndricas são

 

portanto

 

 

Sobre os três caminhos, tem-se

 

 

resultando em

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.5.3 Integral de superfície

 

            A integral de uma função sobre uma superfície é uma extensão do caso unidimensional. Seja S uma superfície e f(x,y,z) uma função escalar.  Seja fs(x,y,z) o valor dessa função calculada sobre pontos da superfície.  Define-se a integral de superfície de f como sendo

 

onde dS é um elemento diferencial de área sobre a superfície S.  Se fs é a projeção de um campo vetorial  ao longo da direção normal à superfície,  denota-se,

 

como sendo o fluxo do vetor  através de S,  onde  é o vetor unitário normal a superfície em cada ponto.  Se a superfície é fechada,  e o vetor  aponta para fora do volume limitado por S,  denota-se,

como sendo o fluxo líquido de  para fora da região limitada por S.  Note-se que se o vetor  for tangente à superfície em todos os pontos,  então o fluxo líquido é nulo.  Será mostrado adiante que o cálculo do fluxo de um campo vetorial para fora de um volume limitado por uma superfície S auxilia na determinação de fontes de campo no interior do volume considerado.

 

            É conveniente incorporar-se o caráter vetorial do vetor normal à superfície diretamente no elemento diferencial de área dS.  Para isso, define-se um vetor área diferencial em cada ponto da superfície por,

 

 

O vetor , apontando em um dado sentido, tem magnitude igual ao produto de comprimentos diferenciais ao longo da superfície, e conseqüentemente as representações desse vetor nos três sistemas de coordenadas aqui considerados são dadas por:

 

·        Cartesianas:       

·        Cilíndricas:        

·        Esféricas:           

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.5.4 Integral de volume

 

A integral de uma função ou vetor em um volume ocorre freqüentemente no estudo de Eletromagnetismo e em outras áreas da Física. Seja f uma função escalar e  um campo vetorial, V um volume no espaço tridimensional e dV um volume diferencial. Denotam-se

 

 

como sendo as integrais de volume das grandezas f e , respectivamente. A escolha mais adequada para representação do elemento diferencial de volume depende da geometria do volume de integração. O elemento diferencial dV é o produto de três comprimentos diferenciais, e as representações correspondentes nos três sistemas de coordenadas são:

 

·        Cartesianas:       

·        Cilíndricas:        

·        Esféricas:           

 

 

 

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

 

 

1.6. Operações diferenciais com vetores

 

1.6.1 Gradiente 

 

Seja uma superfície descrita no sistema de coordenadas cartesianas pela equação f(x,y,z)=C. Na Fig.1.11a estão ilustradas duas superfícies adjacentes S1 e S2, descritas respectivamente pelas equações,

 

S1 :         f(x,y,z) = C

S2 :          f(x,y,z) = C + dC

 

onde dC>0 é um pequeno incremento diferencial na constante C. O deslocamento do ponto P para o ponto Q ilustrados na Fig.1.11a, é representado pelo vetor deslocamento diferencial,

 

 

 

Fig.1.11 Geometria das superfícies e disposição de vetores utilizados na definição do gradiente de uma função.

 

A variação df , na função f , devido a esse deslocamento pode ser obtida utilizando-se o termo em primeira ordem de uma expansão de Taylor para funções de três variáveis

 

 

que pode ser expressa na forma do produto escalar

 

 

onde

 

é denominado de gradiente da função f. Esse vetor é resultante da ação do operador vetorial

 

sobre a função f , gerando como resultado um vetor.

Para pontos P e Q bem próximos e situados sobre S1 conforme ilustrado na Fig.1.11b, a variação na função f é, df = 0, i.e.,

 

 

o que indica que o vetor  é perpendicular a superfície S1 no ponto P. Orientando-se o vetor  de forma a torná-lo paralelo e no mesmo sentido do vetor , a magnitude de assume seu valor mínimo, resultando em

 

 

ou seja, o vetor  tem como magnitude a máxima taxa de variação da função f no ponto P e aponta no sentido dessa máxima variação. Definindo-se um caminho curvilíneo passando perpendicularmente a família de superfícies Si descritas por equações do tipo, f(x,y,z)=Ci, conforme ilustrado na Fig.1.11c, permite expressar o gradiente na forma simples

 

                                                                                                        (1.13)

 

onde u é a variável que mede comprimento ao longo da direção normal ao conjunto de superfícies e âu é o vetor unitário, tangente a essa trajetória e orientado no sentido de crescimento de u.

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.6.2 Operador Nabla

 

            O operador  pode atuar sobre escalares ou vetores. Operação sobre uma função escalar resulta no vetor gradiente. A representação do vetor gradiente é feita com os vetores unitários escritos à esquerda dos respectivos operadores diferenciais, como na Eq.(1.13). Isso porque, em sistemas de coordenadas curvilíneas, vetores de base em geral dependem dessas coordenadas, e portanto essa notação evita que os operadores diferenciais atuem sobre os vetores de base. Da Eq.(1.13), o operador , quando decomposto em uma base de vetores unitários, terá como componentes as derivadas com respeito aos comprimentos diferenciais medidos ao longo dos respectivos eixos coordenados, assumindo a forma geral,

 

 

                                                     (1.14)

 

 

onde dli é o comprimento diferencial ao longo do eixo i. De acordo com essa expressão, as seguintes representações são obtidas nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas:

 

     Cilíndricas:

 

                                                                      (1.15)

     Esféricas:

 

                                                               (1.16)

 

1.6.3 Divergente

 

            O divergente é uma função escalar resultante de uma operação diferencial sobre um vetor. Considere-se um sistema ortogonal de coordenadas generalizadas, representadas pelas variáveis u, v e w. Os elementos diferenciais de comprimento associados a essas variáveis são definidos por

 

dl1=h1du, dl2=h2dv, dl3=h3dw .

 

Os parâmetros h, são fatores de escala, funções das coordenadas, que multiplicados pelos respectivos elementos diferenciais   du, dv e dw , produzem os comprimentos diferenciais correspondentes.  Na Tabela 1.1, estão tabulados os parâmetros h  correspondentes aos três sistemas de coordenadas mais utilizados.

 

Tabela 1.1 Parâmetros h e variáveis correspondentes em três sistemas de coordenadas

 

u

v

w

h1

h2

h3

Cartesianas

x

y

z

1

1

1

Cilíndricas

r

ϕ

z

1

r

1

Esféricas

R

θ ϕ

1

R

Rsenθ

 

            Seja o cubo curvilíneo de volume , ilustrado na Fig.1.12, com centro no ponto , e um campo vetorial

 

 

Define-se o divergente de  no ponto P pela relação,

 

                                                       (1.17)

que mede a densidade volumétrica de fluxo líquido do vetor  para fora de um volume diferencial com centro no ponto P.  Com base na geometria ilustrada nas Figs.1.12a e b, é possível determinar-se formalmente uma expressão para o divergente em termos das componentes de  e das coordenadas u, v e w.  Para isso basta computar-se o fluxo do vetor  para fora do volume diferencial, através das seis superfícies do cubo curvilíneo. Na Fig.1.12b, estão indicadas as superfícies S1 e S2 , e a superfície intermediária S0 . Sendo  o vetor normal a superfície intermediária, obtém-se para o fluxo através dessa superfície

 

            Os fluxos através das superfícies que têm em comum o vetor unitário , podem ser expressos em termos de  a partir das expansões de Taylor em 1a. ordem

 

 



Fig.1.12. Cubo curvilíneo utilizado no cálculo formal do divergente de um campo vetorial.

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


Assim, a contribuição das superfícies S1 e S2 para o fluxo total para o exterior da região limitada pelo cubo pode ser obtida de

 

A contribuição das outras superfícies é obtida fazendo-se permutações cíclicas sobre os respectivos índices e coordenadas, resultando em,

 

 

donde

 

Inserindo-se essa última expressão na Eq.(1.17),  fornece

 

           (1.18)

 

Utilizando-se os parâmetros da Tabela 1.1 e a Eq.(1.18), as seguintes expressões são obtidas nos três sistemas de coordenadas:

 

                                                         (1.19)

 

                                              (1.20)

 

      (1.21)

 

            A divergência de um campo vetorial, indica a  existência de fontes ou sumidouros associados a esse campo. Se a divergência em um ponto é nula, o fluxo total que entra é o mesmo que sai em um volume arbitrariamente pequeno circundando o ponto considerado, indicando assim uma certa conservação das linhas de campo naquele ponto. Se a divergência é positiva, existe um fluxo liquido para o exterior do volume diferencial ao redor do ponto considerado, indicando a presença de uma fonte capaz de produzir essas linhas de campo. Finalmente, quando a divergência é negativa, existe um fluxo líquido convergindo para o interior do volume diferencial, indicativo da existência de um sumidouro de linhas de campo no ponto sob consideração. 

 

            Considerando-se a Eq.(1.19), pode-se escrever o divergente de um campo vetorial na forma

 

 

            Ou seja, no sistema de coordenadas cartesianas, o divergente de um campo vetorial é obtido diretamente do produto escalar do vetor  com o vetor . Essa expressão também se verifica em qualquer sistema de coordenadas, mas deve-se levar em conta que em outros sistemas os vetores de base dependem das coordenadas, e que os operadores diferenciais atuam sobre os vetores de base. Por exemplo, considerando-se o sistema de coordenadas cilíndricas e a Eq.(1.17), tem-se

 

 

Antes da realização dos produtos escalares, deve-se observar que os vetores  e  dependem da coordenada .  A forma explícita dessa dependência é obtida decompondo-se esses vetores na base de vetores do sistema de coordenadas cartesianas. Com base na matriz de transformação dada pela Eq.(1.8), tem-se que,

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


Diferenciação desses vetores com respeito a variável   fornece

 

Levando-se em conta essas propriedades no desenvolvimento da operação , resulta em

 

 

Comparando-se essa última expressão com a Eq.(1.20) tem-se

 

 

 

 

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

 

1.6.4 Rotacional

 

Caixa de texto:  

Fig.1.13 Geometria utilizada para o cálculo do rotacional de um campo vetorial            O rotacional é uma operação diferencial realizada sobre um vetor, produzindo como resultado um outro vetor e é útil na determinação das propriedades de circulação de campos vetoriais.  Com base na Fig.1.13, define-se o rotacional de um campo vetorial pela relação

 

             (1.22)

 

Verifica-se da definição dada pela Eq.(1.22) que cada componente do vetor rotacional é a razão entre a circulação do campo vetorial e a área limitada pelo caminho de integração, calculada no limite quando essa área tende a zero.  No cálculo da Eq.(1.22), a orientação do caminho é definida de forma que a área por ele limitada esteja sempre situada à esquerda no decorrer do percurso de integração. O vetor unitário normal a área diferencial é orientado no sentido da extremidade do polegar ao simular-se a trajetória de integração com a mão direita.

 

            Considere-se um sistema genérico de coordenadas curvilíneas (u, v, w) e a geometria ilustrada na Fig.1.14 para o cálculo da componente u da Eq.(1.22). Admitindo-se um campo vetorial da forma

 

 ,

 

a integral de linha da  Eq.(1.22) reduz-se a

 

 

 

Fig.1.14 Geometria para o cálculo do rotacional em termos das componentes do campo vetorial

 

            Supondo-se conhecidas as integrais de linha sobre os dois caminhos que cruzam o centro do retângulo curvilíneo, as integrais ao longo dos quatro segmentos indicados na Fig.1.14 podem ser obtidas a partir das expansões de Taylor em 1a. ordem

 

 

 

onde,

 

 

 ,

 

são as integrais de linha intermediárias no sentido crescente das variáveis v e w, respectivamente.

 

 

A integral de linha resultante é portanto,

 

 

A área do retângulo diferencial é aproximadamente,

 

 

e a componente u do rotacional, obtida da Eq.(1.22),

 

 

donde

 

                                      (1.23)

As outras componentes são obtidas realizando-se permutações cíclicas nos índices e coordenadas, o que fornece:

 

                                     (1.24)

 

                                     (1.25)

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


As Equações (1.23)-(1.25) são válidas para um sistema ortogonal de coordenadas curvilíneas generalizadas. Nos três sistemas de coordenadas mais usados e com base na Tabela 1.1, essas expressões assumem as formas:

 

     Cartesianas:

 

        (1.26)

 

     Cilíndricas:

 

  (1.27)

     Esféricas:

 

     (1.28)

 

            A operação  pode ser obtida diretamente do produto vetorial do operador  com o vetor , levando-se em conta a operação diferencial sobre os vetores unitários do sistema de coordenadas curvilíneas. Por exemplo, no sistema de coordenadas cilíndricas obtém-se formalmente

 

 

 

Em coordenadas cilíndricas os vetores  e  dependem apenas da coordenada , conforme descrito na Sec. 1.6.3. Efetuando-se os produtos vetoriais entre vetores unitários obtém-se

 

 

 

 

 

Comparando-se essa última expressão com a Eq. (1.27) fornece

 

                                                                               (1.29)

 

            Existe uma segunda forma de definição da operação rotacional que envolve uma integração na superfície fechada que limita o ponto considerado.  Essa definição é útil no desenvolvimento de algumas relações integrais e pode ser desenvolvida com base na geometria do cubo curvilíneo ilustrado na Fig.1.12a.  Seja  o vetor área diferencial em cada face do cubo e dV o volume diferencial correspondente. O rotacional pode então ser definido na forma

 

                                              (1.30)

            Note-se que a Eq.(1.30) tem uma forma semelhante a Eq.(1.17) a menos da natureza vetorial.  Para verificar-se que o resultado obtido com essa nova definição é idêntico àquele obtido da Eq.(1.22), considere-se as contribuições das superfícies S1 e S2 para a integração de superfície, expressas em termos da contribuição da superfície S0, conforme ilustrado na Fig.1.12b.  Na superfície S0 tem-se

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


            De forma semelhante àquela descrita anteriormente as integrações nas superfícies S1 e S2 podem ser expressas como as expansões de Taylor em 1a. ordem

 

onde o sinal negativo na última expressão é decorrência de a normal para o exterior da região na superfície S2 apontar no sentido do vetor .  Assim a contribuição das superfícies S1 e S2 é dada por

 

 

que pode ser reescrita na forma

 

 

            A partir desse resultado, as integrações nas quatro superfícies restantes podem ser obtidas realizando-se permutações cíclicas nas coordenadas, resultando em

 

 

            Pode-se mostrar que os últimos três termos do segundo membro da expressão anterior são todos nulos.  Para isso, é suficiente mostrar que um deles se anula e utilizar a correspondência cíclica entre os termos.  A demonstração é como segue.  Considere-se o vetor deslocamento diferencial

 

que no sistema uvw pode também ser escrito na forma

 

 

A igualdade dessas duas relações fornece

 

 

            Assim, o primeiro dos três últimos termos da integral de superfície pode ser escrito na forma

,

e o mesmo resultado se aplica para os dois últimos termos. Com esse resultado a integral na superfície do cubo curvilíneo reduz-se a

            Utilizando-se esse último resultado juntamente com a expressão DV=h1h2h3dudvdw, na definição dada pela Eq.(1.30) obtém-se finalmente

 

o que corresponde ao resultado contido nas Eqs.(1.23)-(1.25).

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.7. Identidades vetoriais

 

            O operador  pode operar sobre escalares ou vetores ou combinações de produtos dessas grandezas e várias identidades vetoriais podem ser obtidas da definição básica do operador  conforme ilustrado a seguir:

 

1.7.1

 

            Utilizando-se a notação compacta e a definição do produto escalar, tem-se

 

 

onde é subtendida a soma nos índices i e j e .  Utilizando-se a regra da cadeia para a operação de diferenciação, obtém-se

 

 

donde

 

                                                       (1.31)

 

1.7.2

 

            Utilizando-se o procedimento delineado anteriormente, obtém-se

 

 

donde

 

                                                    (1.32)

 

1.7.3

 

            A divergência do gradiente de um escalar é denominada de Laplaciano que é um operador diferencial de 2a. ordem encontrado freqüentemente em teoria de campos.  Utilizando-se a Eq.(1.14), e os parâmetros h definidos anteriormente, o gradiente de um escalar pode ser expresso como

 

O divergente do vetor é obtido da  Eq.(1.16), resultando em

 

    (1.33)

 

Utilizando-se os parâmetros da Tabela 1.1, obtém-se as seguintes expressões nos sistemas de coordenadas considerados neste capítulo:

 

     Cartesianas

 

                                                        (1.34)

 

     Cilíndricas

 

                                                     (1.35)

 

     Esféricas

 

  (1.36)

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

1.7.4

 

            Considere-se a determinação do rotacional do gradiente de uma função escalar. Utilizando-se a notação compacta, com índices repetidos representando soma, o gradiente e o rotacional podem ser representados por,

 

 

onde, .  Fazendo-se   ,  obtém-se

 

 

Para uma função f com 2a. derivada contínua tem-se que, .   Portanto, fixado o índice k , e fazendo-se uso da propriedade  , conclui-se que,

 

                                                       (1.37)

 

Essa identidade implica que: qualquer campo vetorial obtido do gradiente de uma função escalar é irrotacional.

 

1.7.5

 

            Considere-se agora o divergente do rotacional de um vetor.  Para isso, a Eq.(1.16) é expressa na forma compacta,

 

 

com índices repetidos indicando soma, e o último fator na expressão anterior, satisfaz a,

 

 

Seja

 

cuja divergência é,

 

onde nessa última expressão tem-se uma soma sobre os índices repetidos i , j , k, l , m. Notando-se que,

 

 

e este termo será não nulo para cada valor do índice i, se a seguinte condição for satisfeita,

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


Quando esta condição é satisfeita, tem-se que,

 

 ,

 

portanto,

 

 

Para Fm com 2a. derivada contínua tem-se

 

 

e utilizando-se a propriedade ,  obtém-se finalmente,

 

                                                                   (1.38)

 

Essa identidade implica que: qualquer campo vetorial derivado do rotacional de outro vetor,  possui divergência nula. 

 

 

1.7.6 Outras identidades vetoriais

 

            Existem outras identidades envolvendo operadores e vetores que são de importância no formalismo matemático da teoria eletromagnética, algumas das quais listadas a seguir. A demonstração dessas expressões é geralmente realizada seguindo procedimentos semelhantes  àqueles delineados anteriormente.

 

                                                     (1.39)

 

                                               (1.40)

 

          (1.41)

 

                                           (1.42)

 

              (1.43)

 

                                                    (1.44)

 

1.8. Alguns teoremas da análise vetorial

 

            Várias relações integrais são de importância no formalismo matemático da teoria eletromagnética e algumas destas são descritas a seguir.

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


1.8.1 Teorema de Gauss

           

            A definição da divergência de um vetor expressa pela Eq.(1.15), pode ser posta na forma

 

 

Caixa de texto:  

Fig.1.15 Geometria utilizada na demonstração do teorema de Gauss.com  representando o fluxo líquido do vetor  para fora da região diferencial em torno do ponto P.  Essa última relação permite obter o fluxo líquido a partir do conhecimento do divergente e do volume diferencial uma vez que

 

                   (1.45)

 

            A generalização dessa expressão para o caso de um volume macroscópico V limitado por uma superfície fechada  pode ser obtida com base na Fig.1.15. O volume V é subdividido em elementos diferenciais , e sobre cada elemento a Eq.(1.45) é utilizada para calcular o fluxo líquido para fora do elemento diferencial de volume. Efetuando-se a soma dos fluxos diferenciais de cada elemento, componentes de fluxo calculadas sobre superfícies comuns a elementos adjacentes se cancelam. Conseqüentemente, ao se somar as contribuições diferenciais,  as únicas componentes de fluxo que não se cancelam são aquelas calculadas sobre a superfície . Dessa forma, pode-se escrever,

 

que leva ao teorema de Gauss,

 

                                                               (1.46)

 

onde  é o vetor área diferencial dirigido para fora do volume V.

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

1.8.2 Teorema de Stokes

 

            A definição do rotacional de um vetor dada pela Eq.(1.19) pode ser expressa na forma,

 

 

onde  é um vetor unitário normal ao elemento de área DS, e C é o caminho de integração, orientado de acordo com a regra da mão direita.  Essa relação permite obter a circulação do campo vetorial a partir do conhecimento da projeção do rotacional na direção normal à superfície limitada pelo caminho. Definindo-se no limite,

 

Caixa de texto:  

Fig.1.16 Geometria utilizada na demonstração do teorema de Stokes

 

pode-se escrever,

 

donde

 

                       (1.47)

 

            A Eq.(1.47) pode ser generalizada para o cálculo de circulação de um campo vetorial, qualquer que seja a forma e tamanho do caminho, conforme ilustrado na Fig.1.16.  A superfície é subdividida em elementos diferenciais, e sobre cada elemento, a Eq.(1.47) é utilizada para o cálculo da integral de linha no caminho limitando o elemento de superfície correspondente. Efetuando-se a soma dessas circulações diferenciais sobre todos os elementos da superfície, integrais de linha calculadas sobre segmentos comuns a elementos adjacentes se cancelam. Conseqüentemente, ao somar-se as contribuições diferenciais, o único segmento que contribui para a integral de linha do vetor  é o caminho C limitando a superfície S.  Pode-se escrever portanto,

 

resultando no teorema de Stokes,

 

                                                       (1.48)

            Uma outra identidade integral envolvendo o rotacional de um campo vetorial decorre diretamente da Eq.(1.30).  Com base naquela equação e seguindo procedimento semelhante àquele que levou a Eq. (1.46) pode-se mostrar que

 

                                                              (1.49)

 

onde S é a superfície fechada que limita o volume V, conforme ilustrado na Fig.1.15.

 

1.8.3 Identidades de Green

 

            As identidades de Green seguem diretamente do teorema da divergência e são úteis no formalismo das funções de Green para determinação de campos.  Considere-se duas funções f e g,  que são utilizadas para gerar os vetores,   e .  Utilizando-se a identidade vetorial expressa pela Eq.(1.26), obtém-se,

 

                                                      (1.50)

 

                                                     (1.51)

 

Efetuando-se a diferença entre as Eqs.(1.50) e (1.51) e integrando-se o resultado em um volume V, resulta em

 

 

Aplicando-se o teorema de Gauss, expresso pela Eq. (1.46), no primeiro membro, resulta em

 

                              (1.52)

 

que é o Teorema de Green.  Procedimento semelhante aplicado à Eq.(1.50), leva a primeira identidade de Green,

 

                                        (1.53)

 

 

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

1.8.4 Teorema de Helmholtz

 

            O Teorema de Helmholtz estabelece que um campo vetorial é univocamente especificado em uma região, se forem conhecidos seu divergente, rotacional e sua componente normal sobre a superfície que limita a região. A importância deste teorema na teoria eletromagnética é consequência da forma de representação matemática do comportamento de campos eletromagnéticos em termos de operações de divergência e rotacional.   Para demonstrar-se o teorema, seja um vetor  definido em uma região limitada por uma superfície fechada , tal que,

 

 

 

com  especificadas em toda região, conjuntamente com a componente normal de  sobre , . Admitindo-se a existência de um vetor distinto  satisfazendo as mesmas propriedades, ou seja

 

a unicidade do vetor  ficará demonstrada se a condição, , for satisfeita. Para isso, constrói-se o vetor,

 

 

que satisfaz as propriedades,

 

 

Como  é irrotacional,  da Eq.(1.37), pode-se definir uma função , tal que,

 

 ,

 

e a divergência nula de  fornece

 

 

Utilizando-se a 1a. identidade de Green dada pela Eq.(1.53), com f = g =Φ ,  resulta em

 

 

donde

 

Dado que  vem

 

Como a grandeza  é positiva definida, a integração de volume só será nula se  para qualquer ponto no interior do volume, o que implica , como se queria demonstrar.

 

 

 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana


 

 

 Problemas

1.1)            Considere a função, , com  e .  Mostre que  , onde .

1.2)            Calcule o valor da integral de linha,

 

onde C é o segmento de reta orientado do ponto (a,0,0) ao ponto (a,a,0).

 

1.3)            Determine,

 

onde C é o arco de circunferência orientado, definido por  r=3, z=0, 0ϕ≤π/2.

 

1.4)            Dado o campo vetorial , determine o fluxo desse vetor através da superfície definida pelas condições, {z=4, 0 x 3, 1 y 2}.

1.5)            Para o campo vetorial , determine , sobre a superfície S do cubo cujos vértices estão localizados nos pontos,

 

(0,0,0); (1,0,0); (1,1,0); (0,1,0)

(0,0,1); (1,0,1); (1,1,1); (0,1,1)

            Admita que  seja o vetor área diferencial dirigido para fora da região limitada por Σ.

 

1.6)            Use o teorema de Gauss e determine a resposta da questão anterior, pelo cálculo de uma integral de volume na região limitada por Σ.

1.7)            Dado o campo vetorial , mostre que .

1.8)            Dado o campo vetorial , mostre que .

 

 

1.9)            Calcule as seguintes integrais:

, , , , ,

            onde C é a circunferência z=0 , r = 1.

1.10)        Calcule as seguintes derivadas e expresse suas respostas na base de vetores do sistema de coordenadas esféricas.

1.11)        Calcule as integrais de superfície:

 

, , ,

, , ,

onde Σ é a superfície esférica R = 1.

 

1.12)        Calcule as integrais de volume

 

, , ,

onde V é o volume esférico R 1.

 

1.13)        Utilize o teorema de Stokes em uma superfície fechada, com o auxílio do teorema de Gauss, para mostrar que

 

1.14)        Use o resultado da questão anterior para mostrar que

 

1.15)        Verifique que para uma função f e um elemento diferencial de deslocamento , tem-se que , onde df é a diferencial de f.

1.16)        Utilize o resultado da questão anterior, juntamente com o teorema de Stokes, para mostrar que

 

1.17)        Aplique o resultado da questão anterior em uma área de integração diferencial para mostrar que .

 

1.18)        Demonstre a Eq.(1.49)

 

1.19)        Verifique que o gradiente de uma função escalar ψ pode ser obtido da definição

onde Σ é uma superfície fechada que limita o volume diferencial ΔV e  é o vetor área diferencial dirigido para o exterior do volume ΔV.


 


Copyright Versão Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Versão ebook 2011 by Eduardo Fontana