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% Capítulo 2 - Dissertação Artur Muniz Szpak Furtado
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\chapter{\mbox{Análise Estatística das Curvas} \mbox{Características} \mbox{do Sombreamento Parcial}}{\label{capitulo_estatística}}

Neste capítulo, faz-se uma revisão bibliográfica sobre trabalhos que estudaram as distribuições dos pontos de máxima potência globais e locais de curvas tensão-potência de sistemas fotovoltaicos com inversor centralizado formados por uma ou mais conexões série de módulos fotovoltaicos sob condições de sombreamentos parciais complexos. Em seguida, um novo estudo destas distribuições é realizado com objetivo de guiar algoritmos de GMPPT de sistemas deste tipo, que exibem curvas tensão-potência com múltiplos picos.

\section{Revisão Bibliográfica sobre Análises Estatísticas de \mbox{Sombreamento} Parcial}{\label{secao_revisao_estatistica}}

A Figura \ref{fig_2sistema6} mostra um sistema fotovoltaico com inversor centralizado e módulos agrupados em um arranjo série-paralelo. Cada pequeno retângulo com um triângulo inscrito em seu topo representa um módulo. Cada módulo está protegido por seu diodo de passagem e pode estar exposto a uma irradiância diferente em virtude de sombreamentos parciais. Estudos estatísticos sobre a forma das curvas de sistemas fotovoltaicos com estas características expostos a sombreamentos parciais são detalhados na literatura \cite{Bidram, Patel, Boztepe}.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Sistema fotovoltaico centralizado com módulos em configuração série-paralelo.\label{fig_2sistema6}}
        \includegraphics[width=0.9\linewidth]{Cap2/Figuras/2sistema6.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Bidram, Davoudi e Balog \cite{Bidram}, Patel e Agarwal \cite{Patel}, assim como Tey e Mekhilef \cite{Tey}, em seus artigos, afirmam, sem maiores explanações sobre suas metodologias, que a curva tensão-potência de sistemas com estas características tem seus diversos picos locais sempre em comportamento decrescente para os dois lados do pico global. Ou seja, quando a curva tensão-potência é percorrida a partir de qualquer um dos lados, o ponto máximo dos picos locais cresce. Após o pico global ser alcançado, o ponto máximo dos picos subsequentes continuamente decresce. \cite{Patel}. Este comportamento hipotético é ilustrado na Figura \ref{fig_3patel}. Na Figura \ref{fig_3patel}(a) desta figura, a área retangular quadriculada representa um sistema fotovoltaico de inversor centralizado formado por 300 módulos em um arranjo formado por 30 séries de 10 módulos conectadas em paralelo. Os quadrados em escalas de cinza indicam módulos sombreados. Desta forma, as seis séries de módulos mais à esquerda estão com seis módulos com incidência de $900$ $W/m^{2}$ e quatro módulos com incidência de $400$ $W/m^{2}$ de irradiância. Estas seis séries estão indicadas pelo número 1. As três séries de módulos indicadas pelo número 2 estão com três módulos com incidência de $900$ $W/m^{2}$ e sete módulos com incidência de $300$ $W/m^{2}$ de irradiância, e assim sucessivamente.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{(a) Sombreamento parcial incidente sobre um sistema fotovoltaico centralizado série-paralelo e (b) a curva tensão-potência resultante \cite{Patel}.\label{fig_3patel}}
        \includegraphics[width=1\linewidth]{Cap2/Figuras/3patel.pdf}
        \legend{Fonte: adaptado de Patel e Agarwal (2008).}
    \end{center}
\end{figure}

Boztepe \emph{et al.} \cite{Boztepe}, por sua vez, detalham claramente a metodologia de seu trabalho estatístico e apresentam dois gráficos com resultados importantes. Após um estudo com 1000 simulações das curvas tensão-potência de conexões séries de 2, 4, 6, 8 e 16 módulos, cada módulo sempre com um valor de irradiância aleatória entre $100$ $W/m^{2}$ e $1000$ $W/m^{2}$, o gráfico da Figura \ref{fig_4distribuicao_boztepe} foi apresentado, mostrando a distribuição da diferença de tensão entre máximos de picos adjacentes nestas 1000 simulações. No gráfico, a abcissa mostra o número de identificação de cada simulação, sendo o primeiro grupo de simulações realizadas com séries de 2 módulos, o segundo grupo de simulações realizadas com séries de 4 módulos, o terceiro com séries de 6 módulos, o quarto com séries de 8 módulos e o quinto grupo com séries de 16 módulos. No eixo das ordenadas, estão pontos que expressam as magnitudes de todas as diferenças de tensão entre máximos de picos adjacentes de cada simulação, normalizadas pelo valor da tensão de circuito aberto de um dos módulos utilizados em condições padronizadas de ensaio (\emph{STC}), que significam $1000$ $W/m^{2}$ de irradiância incidente e com $25^{o}C$ ou $298K$ de temperatura das células.
\nomenclature{$\mathrm{STC}$}{Standard Test Conditions - Condições Padrão de Teste}

\begin{figure}[b!]
    \begin{center}
        \caption{Diferença de tensão, normalizada pela tensão de circuito aberto de um módulo na \emph{STC}, entre máximos de picos adjacentes das curvas tensão-potência das 1000 simulações com irradiâncias aleatórias realizadas por Boztepe \emph{et al.} \cite{Boztepe}. (a) Todos os resultados. (b) Visão ampliada entre as tensões normalizadas de 0,5 e 1,2. \label{fig_4distribuicao_boztepe}}
        \includegraphics[width=0.95\linewidth]{Cap2/Figuras/4distribuicao_boztepe.pdf}
        \legend{Fonte: adaptado de Boztepe \emph{et al.} (2014).}
    \end{center}
\end{figure}

Através dos resultados mostrados na Figura \ref{fig_4distribuicao_boztepe}, Boztepe \emph{et al.} \cite{Boztepe} concluem que, considerando uma temperatura igual nas células de todos os módulos, conexões série de módulos fotovoltaicos sempre apresentam uma distância mínima de, pelo menos, metade do valor da tensão de circuito aberto dos módulos entre os máximos de picos adjacentes de qualquer situação de sombreamento com irradiâncias até $1000$ $W/m^{2}$. Além disso, analisando o gráfico apresentado, as magnitudes (módulos) das distâncias de tensão entre os máximos de picos adjacentes se distribuem de modo a formar faixas de diferença de tensão com concentração de pontos separadas por faixas de diferença de tensão sem nenhum ponto. Assim, entre outros, este fato, não comentado pelos autores citados, motivou a busca por mais experimentos que buscassem inferir estatisticamente a existência de faixas de diferença tensão onde fosse improvável haver dois máximos de picos adjacentes.

Pretendendo encontrar um valor de tensão máxima, acima do qual é impossível existir um ponto global de máxima potência, um segundo resultado estatístico foi apresentado por Boztepe \emph{et al.} \cite{Boztepe}. Neste estudo, 2000 simulações foram realizadas para um sistema fotovoltaico com uma única conexão série de 20 módulos. Para cada simulação, considerou-se que todos os módulos estavam numa mesma temperatura, e que cada um deles estava exposto a um valor de irradiância aleatório dentro de faixas definidas. Foram definidas cinco faixas, $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, $300$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, $500$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, $600$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ e $700$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$. Para cada faixa foram realizadas 400 simulações. Os resultados encontrados por estes autores estão mostrados no gráfico da Figura \ref{fig_5boztepe2}, que expõe o valor da tensão, normalizada pela tensão de circuito aberto da conexão série dos 20 módulos em condições padrão de ensaio, STC, onde são encontrados os pontos de máxima potência global de cada uma das 2000 simulações realizadas.

\begin{figure}[b!]
    \begin{center}
        \caption{Estudo estatístico de Boztepe \emph{et al.} \cite{Boztepe} sobre as tensões onde o ponto de máxima potência global pode ser encontrado.\label{fig_5boztepe2}}
        \includegraphics[width=0.95\linewidth]{Cap2/Figuras/5boztepe2.pdf}
        \legend{Fonte: adaptado de Boztepe \emph{et al.} (2014).}
    \end{center}
\end{figure}

Com os resultados mostrados nesta figura, Boztepe \emph{et al.} \cite{Boztepe} concluem que não é possível haver um GMPP para uma conexão série de módulos fotovoltaicos sob sombreamento parcial com tensão superior a $0,887$ da tensão de circuito aberto desta conexão série se todos os módulos estivessem na mesma temperatura.

Novamente, embora não comentado por estes autores, os resultados conseguidos seguiram divisões por faixas de tensões possíveis e impossíveis. Além disso, os pontos parecem preencher o interior de uma região triangular. Estes fatos somaram-se aos anteriores para motivar, nesta dissertação, a busca por mais resultados estatísticos que levassem a conclusões sobre as características dos máximos locais e globais de curvas tensão-potência de sistemas fotovoltaicos com sombreamento parcial.

\section{Novo Estudo Estatístico de Sombreamento Parcial}{\label{secao_estatistica}}

Nesta seção são detalhadas metodologias e exibidos os resultados de um novo estudo estatístico realizado acerca das características das curvas tensão-potência de sistemas fotovoltaicos com inversor centralizado e sombreamento parcial. Este estudo serve de base para uma nova técnica de GMPPT detalhada e testada nos próximos capítulos.

\subsection{Modelagem do arranjo série-paralelo de módulos fotovoltaicos}

Os estudos deste capítulo e também do capítulo posterior foram realizados por meio da construção de um modelo matemático de um sistema fotovoltaico composto por conexões em série de módulos fotovoltaicos, construído no \emph{software Matlab/Simulink}. Os módulos fotovoltaicos, assumidos como uma associação em série de $N_{s}$ células fotovoltaicas, foram modelados por um circuito elétrico de único diodo, muito difundido na literatura por apresentar simplicidade aliada a precisão \cite{Silva}. Este circuito está ilustrado na Figura \ref{fig_6diodo}. Ele é composto por uma fonte de corrente, que representa a corrente fotogerada a partir da absorção da radiação solar, em paralelo com um diodo, que representa a natureza da junção semicondutora das células solares baseada na equação de Schockley do diodo ideal, e mais duas resistências, em série e em paralelo \cite{Silva}. A equação deste circuito, então, pode ser escrita como:

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Circuito elétrico equivalente do módulo fotovoltaico \cite{Silva}.\label{fig_6diodo}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/6diodo.pdf}
        \legend{Fonte: adaptado de Silva (2015).}
    \end{center}
\end{figure}
\begin{equation}
    \label{eq_modelo_arranjo}
    I = I_{g}-I_{sat}\left(e^{\frac{V+IR_{s}}{V_{t}}}-1\right)-\frac{V+IR_{s}}{R_{p}},
\end{equation}
onde:
\begin{equation}
    \label{eq_Vt}
    V_{t} = \frac{N_{s}AKT}{q},
\end{equation}
Em que os símbolos representam as seguintes grandezas:
\begin{itemize}
  \item \ $V$ - Tensão de saída do módulo fotovoltaico (em V);
  \item \ $I$ - Corrente de saída do módulo fotovoltaico (em A);
  \item \ $I_{g}$ - Corrente fotogerada do módulo fotovoltaico (em A);
  \item \ $I_{sat}$ - Corrente reversa de saturação do diodo do módulo fotovoltaico (em A);
  \item \ $R_{s}$ - Resistência série do módulo fotovoltaico (em $\Omega$);
  \item \ $R_{p}$ - Resistência paralela do módulo fotovoltaico (em $\Omega$);
  \item \ $N_{s}$ - Número de células associadas em série no módulo fotovoltaico;
  \item \ $A$ - Fator de idealidade do diodo;
  \item \ $K$ - Constante de Boltzmann (em m$^{2}$kg s$^{-2}$ K$^{-1}$);
  \item \ $T$ - Temperatura (em K);
  \item \ $q$ - Carga do elétron (em C).

\end{itemize}

Estes parâmetros de resistências e correntes de saturação e fotogerada, porém, não são encontrados nos \emph{datasheets} dos módulos comerciais. Nestes datasheets, frequentemente, são registradas as seguintes informações fornecidas em relação às condições padrão de ensaio, STC:
 \begin{itemize}
   \item \ $V_{oc,STC}$ - Tensão nominal de circuito aberto do módulo na \emph{STC} (em V);
   \item \ $I_{sc,STC}$ - Corrente nominal de curto-circuito do módulo na \emph{STC} (em A);
   \item \ $V_{MPP,STC}$ - Tensão nominal no ponto de máxima potência do módulo na \emph{STC} (em V);
   \item \ $I_{MPP,STC}$ - Corrente nominal no ponto de máxima potência do módulo na \emph{STC} (em A);
   \item \ $K_{Voc}$ - Coeficiente de variação linear da tensão de circuito aberto em função da temperatura (em A/{o}C);
   \item \ $K_{Isc}$ - Coeficiente de variação linear da corrente de curto circuito em função da temperatura (em A/{o}C);
   \item \ $P_{max}$ - Potência nominal máxima do módulo na \emph{STC} (em W).
 \end{itemize}

Desta forma, na literatura, são encontrados estudos que determinam os parâmetros do circuito equivalente a partir dos dados fornecidos pelos fabricantes de módulos \cite{Silva}. A corrente fotogerada em qualquer condição de temperatura e irradiância pode ser aproximada pela corrente de curto circuito,$I_{sc}$ , que é proporcional à irradiância e tem relação linear com a temperatura dada pelo coeficiente $K_{Isc}$. Portanto, pode-se escrever:
\begin{equation}
    \label{eq_Ig_T_S}
    I_{g}  \approx I_{sc} = [I_{sc,STC}+K_{Isc}(T-T_{R})]\frac{S}{1000},
\end{equation}
em que $T_{R}$ é a temperatura de referência, que é a temperatura nas condições STC, ou seja, $298K$. A tensão de circuito aberto em qualquer condição de temperatura e irradiância também tem relação linear com a temperatura dada pelo coeficiente $K_{Voc}$. Portanto, pode-se escrever:
\begin{equation}
    \label{eq_Voc_T}
    V_{oc} = V_{oc, STC}+K_{Voc}(T-T_{R}).
\end{equation}

Substituindo o par tensão-corrente $(V=V_{oc},I=0)$ em (\ref{eq_modelo_arranjo}), pode-se obter uma expressão para a corrente reversa de saturação do diodo do modelo, $I_{sat}$, em função da tensão de circuito aberto:
\begin{equation}
    \label{eq_Isat}
    I_{sat} = \frac{I_{g}-\frac{V_{oc}}{R_{p}}}{e^{\left(\frac{V_{oc}}{V_{t}}\right)}-1}.
\end{equation}

Estas equações (\ref{eq_modelo_arranjo}) a (\ref{eq_Isat}) permitem escrever o modelo matemático de um módulo fotovoltaico em função de parâmetros disponibilizados nos datasheets de módulos comerciais. Porém, considerando que este modelo tem três entradas (tensão do módulo, irradiância incidente no módulo e temperatura) e uma saída (a corrente gerada) ainda restariam a determinação de três parâmetros: o fator de idealidade do diodo, $A$, a resistência série do módulo, $R_{s}$, e a resistência paralela do módulo, $R_{p}$. Para determinar estes parâmetros, podem ser usadas técnicas que, de posse das curvas tensão-corrente e tensão-potência dadas nos \emph{datasheets} dos módulos, estimam os parâmetros que fazem com que os gráficos tensão-corrente e, consequentemente, de tensão-potência, melhor se aproximem dessas curvas fornecidas.

Silva \cite{Silva} propôs uma técnica de estimação batizada de Varredura Total, onde estimou os parâmetros de resistência série, resistência paralela e fator de idealidade do diodo para o módulo \emph{KC200GT} da fabricante \emph{Kyocera} \cite{kc200gt}:
\begin{itemize}
   \item \ $R_{s} = 0,265\Omega;$
   \item \ $R_{p} = 171,21\Omega;$
   \item \ $A = 1,00.$
\end{itemize}

Os parâmetros do módulo \emph{KC200GT} são utilizados em todas as simulações desenvolvidas neste trabalho. Do \emph{datasheet} foram retirados os seguintes parâmetros:
\begin{itemize}
   \item \ $I_{sc,STC} = 8,21A;$
   \item \ $V_{oc,STC} = 32,9V;$
   \item \ $K_{Isc} = 3,18$x$10^{-3}A/K;$
   \item \ $K_{Voc} = -1,23$x$10^{-1}V/K;$
   \item \ $N_{s} = 54$;
\end{itemize}
que juntos às constantes físicas da carga elementar do elétron, $1,60217$x$10^{-19}$, e de \emph{Boltzman}, $1,38$x$10^{-23}$, e à temperatura de referência, $298K$, completam os parâmetros necessários para o modelo matemático do módulo \emph{KC200GT}.

Por fim, com a obtenção destes parâmetros, as equações (\ref{eq_modelo_arranjo}) a (\ref{eq_Isat}) definem completamente as relações entre corrente, tensão, irradiância incidente e temperatura do módulo. No entanto, se a intenção é obter uma saída de corrente para entradas de tensão, irradiância e temperatura, a equação (\ref{eq_modelo_arranjo}) não tem solução aritmética para a incógnita $I$. A presença da corrente, $I$, dentro e fora da função exponencial não permite isolar esta incógnita como solução. Tem-se, assim, uma equação transcendental que só é possível de ser resolvida por um cálculo numérico iterativo e observando critérios de convergência. Desta forma, foi utilizado o método de \emph{Newton-Raphson} como método iterativo com um critério de convergência de magnitude $10^{-6}A$. Aplicando-se \emph{Newton-Raphson}, o modelo do módulo fotovoltaico utilizado neste trabalho determina a corrente gerada pelo módulo para cada condição de tensão presente em seus terminais, irradiância e temperatura de suas células quando a seguinte equação iterativa converge de acordo com:
\begin{equation}
\label{eq_iterativa}
\left\{\begin{array}{lll}
  V_{t} = \frac{N_{s}AkT}{q}, \\
  %\vspace{0.1mm} \\
  V_{oc} = V_{oc, STC}+K_{Voc}(T-T_{R}), \\
  %\vspace{0.1mm} \\
  I_{sat} = \frac{I_{g}-\frac{V_{oc}}{R_{p}}}{e^{\left(\frac{V_{oc}}{V_{t}}\right)}-1}, \\
  %\vspace{0.1mm} \\
  I_{g} = [I_{sc,STC}+K_{Isc}(T-T_{R})]\frac{S}{1000}, \\
   \\
  %\vspace{0.1mm} \\
  I_{i+1} = I_{i}+\frac{I_{g}-I_{i}-I_{sat}\left(e^{\frac{V+I_{i}R_{s}}{V_{t}}}-1\right)-\frac{V+I_{i}R_{s}}{R_{p}}
  }{\frac{R_{s}I_{sat}}{V_{t}}\left(e^{\frac{V+I_{i}R_{s}}{V_{t}}}-1\right)+\frac{R_{s}}{R_{p}}+1}, \\
  parada: |I_{i+1}-I_{i}|\leq10^{-6}.
  \\
\end{array}\right.
 \\
\end{equation}

Portanto, um bloco com a equação iterativa (\ref{eq_iterativa}) foi desenvolvido no \emph{Simulink} para simular o comportamento físico do módulo \emph{KC200GT}. Para simular o comportamento elétrico de diversos módulos \emph{KC200GT} em série foi concebido um circuito elétrico em que o bloco da equação acima é responsável por determinar a corrente de cada módulo, como ilustra a Figura \ref{fig_7sistemafoto}.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Esquema da simulação para obtenção da curva de um sistema fotovoltaico com inversor centralizado com qualquer situação de sombreamento.\label{fig_7sistemafoto}}
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{Cap2/Figuras/7sistemafoto.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Nesta figura, é ilustrada a conexão de dois conjuntos paralelos de quatro módulos em série, ambos conectados em paralelo a um barramento C.C. Cada módulo, representado por sua fonte de corrente, está em paralelo a um diodo de passagem e a um voltímetro. O voltímetro obtém a informação da tensão nos terminais de cada módulo. Esta informação da tensão, juntamente à irradiância e à temperatura de cada módulo é carregada na equação iterativa (\ref{eq_iterativa}). O barramento c.c. do inversor, nos estudos deste capítulo, é representado por uma fonte de tensão que tem sua tensão variada de $0$ a $4V_{oc}$ em $1$ segundo com passos de $20\mu s$. Variando a tensão do barramento c.c. desta forma, são obtidos 50000 valores de tensão igualmente espaçados na faixa da tensão nula até a tensão máxima possível da conexão série de quatro módulos. Para cada um desses valores de tensão, o comportamento das correntes em cada módulo é obtido e, consequentemente, a corrente do sistema é obtida como a soma das correntes de cada conjunto série. De posse de 50000 pares tensão-corrente para o sistema, pode-se obter a mesma quantidade de pares tensão-potência e a plotagem destes pontos determina a curva tensão-potência do sistema para qualquer situação de múltiplas irradiâncias.

Por simplicidade de visualização, escolheu-se ilustrar um sistema com oito módulos na Figura \ref{fig_7sistemafoto}. Porém, neste trabalho, os sistemas fotovoltaicos simulados têm 16 módulos em três distintos arranjos: um primeiro com os 16 módulos em série, um segundo com duas conexões em paralelo de 8 módulos em série e um terceiro com quatro conexões em paralelo de quatro módulos em série.

\subsection{Resultados estatísticos para irradiâncias aleatórias}{\label{secao_aleatorias}}

O estudo estatístico realizado neste trabalho tem como objetivo estabelecer padrões característicos para os pontos de máxima potência global de sistemas fotovoltaicos centralizados com sombreamento parcial que pudessem diminuir o tempo de busca deste ponto por meio de uma diminuição da faixa de tensões onde este ponto é buscado.

Em técnicas de MPPT para sistemas centralizados, faz-se variar a tensão nos terminais de uma conexão série, ou de várias conexões séries conectadas em paralelo, enquanto se amostra a corrente gerada por todo arranjo fotovoltaico. De posse de vários pares tensão-corrente, chega-se a vários pares tensão-potência. O par tensão-potência com maior potência é o GMPP de um arranjo fotovoltaico para as condições de irradiâncias e temperatura escolhidas.

Caso irradiâncias diferentes incidam sobre os diferentes módulos de uma conexão série, uma curva com múltiplos picos determinará o gráfico tensão-potência desta conexão série. O número de picos é menor ou igual ao número de módulos com irradiancias diferentes em um arranjo série-paralelo. Técnicas de GMPPT de uma curva tensão-potência com múltiplos picos buscam, em geral, os picos ou máximos locais, para discernir, entre estes, qual é o máximo global \cite{Boztepe, Chen, Podgurski, Ishaque, Bidram, Koutroulis, Patel}.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Três arranjos de simulação concebidos para os estudos estatísticos sobre as curvas tensão-potência com sombreamento parcial.\label{fig_8arranjos}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/8arranjos.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Como ilustrado na Figura \ref{fig_8arranjos}, a fim de caracterizar como os pontos de máxima potência globais se distribuem e como as tensões dos máximos locais distam entre si, três arranjos de sistemas fotovoltaicos foram modelados no \emph{Simulink}, o arranjo 16x1, com os 16 módulos em série, o arranjo 8x2, com duas conexões em paralelo de oito módulos em série, e o arranjo 4x4, com quatro conexões em paralelo de quatro módulos em série. Para cada um destes arranjos, foram realizadas 3200 simulações e suas curvas tensão-potência e tensão-corrente resultantes salvas. Em cada simulação, 16 irradiâncias diferentes foram escolhidas aleatoriamente para os 16 módulos dentro de oito diferentes faixas de irradiâncias, sendo 400 simulações para cada faixa em cada arranjo. As faixas de irradiância foram de $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, de $200$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, de $300$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, de $400$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, de $500$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, de $600$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$, de $700$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ e de $800$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$. A temperatura das células de todos os módulos em todas estas simulações foi de $25^{o}C$. Dentro destas faixas, algoritmos de geração de números aleatórios uniformemente distribuídos geraram os 3200 casos de 16 irradiâncias diferentes usados nas simulações.

Após cada simulação, um programa de análise de dados foi executado. Este programa determinou o GMPP assim como todos os pontos máximos locais de cada simulação. Os resultados das distribuições dos pontos de máxima potência globais no plano tensão-potência para as oito faixas de irradiância estão mostrados nos gráficos da Figura \ref{fig_9distribuicao_irradiancias16x1}, para o arranjo 16x1, da Figura \ref{fig_10distribuicao_irradiancias8x2}, para o arranjo 8x2 e da Figura \ref{fig_11distribuicao_irradiancias4x4}, para o arranjo 4x4.

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais para as oito faixas de irradiância do arranjo 16x1 com os módulos à $25^{o}C$.\label{fig_9distribuicao_irradiancias16x1}}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cap2/Figuras/9distribuicao_irradiancias16x1.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais para as oito faixas de irradiância do arranjo 8x2 com os módulos à $25^{o}C$.\label{fig_10distribuicao_irradiancias8x2}}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cap2/Figuras/10distribuicao_irradiancias8x2.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais para as oito faixas de irradiância do arranjo 4x4 com os módulos à $25^{o}C$.\label{fig_11distribuicao_irradiancias4x4}}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cap2/Figuras/11distribuicao_irradiancias4x4.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

A potência em todos os gráficos está normalizada pela potência gerada por cada arranjo com todos os seus módulos na \emph{STC}, $16P_{max}$. Esta potência é igual para os três arranjos uma vez que eles têm a mesma quantidade de módulos. A tensão em todos os gráficos está normalizada pela tensão de circuito aberto de cada arranjo com todos os seus módulos na \emph{STC}, $V_{oc,STC,arranjo}$. Desta forma, $V_{oc,STC,arranjo}=16V_{oc,STC}$ para o arranjo 16x1, $V_{oc,STC,arranjo}=8V_{oc,STC}$ para o arranjo 8x2 e $V_{oc,STC,arranjo}=4V_{oc,STC}$ para o arranjo 4x4. Estas normalizações serão mantidas respectivamente para os gráficos de cada arranjo ao longo do trabalho.

Pode-se perceber que, à medida que se diminui a faixa de irradiâncias para mais perto da irradiância de $1000$ $W/m^{2}$ (faixa menor e com sombras mais tênues), a posição dos GMPPs fica mais concentrada. Este comportamento é presente em todos os arranjos estudados e é esperado, visto que, com irradiâncias próximas, as curvas tensão-potência dos módulos de cada conexão série têm GMPPs mais próximos. Quando a mesma corrente passa pelos módulos com curvas parecidas, seus pontos de operação ficam em tensões e potências próximas.

Os oito gráficos das oito faixas de irradiâncias de cada arranjo apresentam resultado mais significativo quando condensados em um só, afinal, as sombras presentes sobre módulos reais podem assumir qualquer faixa de irradiâncias. As Figuras \ref{fig_12distribuicao16x1_allS}, \ref{fig_13distribuicao8x2_allS} e \ref{fig_14distribuicao4x4_allS} mostram os oito gráficos de cada arranjo condensados, mantendo a mesma identificação de cores.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais no plano tensão-potência normalizado para o arranjo 16x1 com os módulos à $25^{o}C$.\label{fig_12distribuicao16x1_allS}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/12distribuicao16x1_allS.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais no plano tensão-potência normalizado para o arranjo 8x2 com os módulos à $25^{o}C$.\label{fig_13distribuicao8x2_allS}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/13distribuicao8x2_allS.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais no plano tensão-potência normalizado para o arranjo 4x4 com os módulos à $25^{o}C$.\label{fig_14distribuicao4x4_allS}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/14distribuicao4x4_allS.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Os três gráficos mostram um comportamento interessante para a distribuição dos pontos de máxima potência global para os mais variados casos de irradiâncias para a mesma temperatura de $25^{o}C$ nas células dos módulos: zonas com concentração de GMPPs separadas por zonas onde nenhum GMPP das 3200 simulações de cada arranjo foi encontrado. Este fato leva a concluir que existem regiões onde é possível se encontrar os GMPPs de um arranjo sombreado separadas por regiões onde é muito pouco provável se encontrar tais pontos quando todos os módulos estão uma mesma temperatura.

Vale ressaltar que os algoritmos GMPPT geralmente atuam variando a tensão do barramento c.c., que é a tensão nos terminais de um arranjo de módulos, de forma a varrer parte da curva, passando por picos locais, até que se possa concluir que um dos picos locais obtidos é o global, o pico que contém o GMPP. Neste momento, o controle leva o barramento à tensão ao GMPP. Os resultados das Figuras \ref{fig_12distribuicao16x1_allS}, \ref{fig_13distribuicao8x2_allS} e \ref{fig_14distribuicao4x4_allS} são importantes para a construção de algoritmos GMPPT deste tipo, uma vez que determinam, para uma temperatura, faixas de tensão onde não é necessário se buscar o GMPP, já que é estatisticamente impossível encontrá-lo em determinadas faixas. Estas faixas de tensão de busca são as projeções das distribuições dos GMPPs no eixo das tensões normalizadas. Uma vez que o controle GMPP atua sobre a tensão do arranjo fotovoltaico, só é necessário levar o arranjo para pontos de operação sobre estas projeções, pois nas faixas do eixo das tensões onde não há nehuma projeção, é improvável a obtenção de um GMPP. Para o arranjo 4x4 as faixas de tensão onde é improvável se encontrar o ponto de máxima potência são grandes para a temperatura de $25^{o}C$ nas células. Nestes arranjo e  temperaturas, projeções dos GMPPs no eixo das tensões ocupam menos de 20$\,$\% deste eixo. Assim, a faixa de tensão de busca é inferior a 20$\,$\% da faixa total da tensão de circuito aberto do arranjo.

Para o arranjo 8x2, a faixa de tensão onde é estatisticamente impossível encontrar o GMPP é menor que a do arranjo 4x4, para uma determinada temperatura, assim como, a faixa de tensão onde é estatisticamente impossível encontrar o GMPP é menor para o arranjo 16x1 quando comparado ao arranjo 8x2. No entanto, em todos os casos, as distribuições restringem as faixas de busca de alguma forma, podendo levar à construção de algoritmos mais rápidos.

A partir das curvas das 3200 simulações de cada arranjo, um programa foi concebido para obter todos os máximos locais de todas as simulações. A partir destas informações, foram calculadas as diferenças de tensões entre máximos de picos adjacentes. Uma curva com N picos terá N-1 diferenças de tensões entre máximos de picos adjacentes. O gráfico da Figura \ref{fig_15distancia_locais_fig_16x1_S100a1000} mostra todas as diferenças de tensão entre máximos de picos adjacentes para as 400 simulações do arranjo 16x1 na faixa de irradiâncias de $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$  com a temperatura de $25^{o}C$. O eixo das abcissas está numerado de 1 a 400, representando as simulações deste caso. Sobre cada um desses números estão pontos com todas as diferenças de tensão entre máximos de picos adjacentes destas simulações.

Após calcular as diferenças de tensão entre máximos de picos adjacentes, notou-se que não há diferença de tensão menor que $10,67$ $V$ entre máximos locais. Este resultado pode ser importante para a construção de algoritmos GMPPT, uma vez que mostram que, após encontrar um máximo local, nenhum outro máximo local será encontrado em pontos com tensões com diferença menor que $10.67V$ da tensão deste máximo local. Este resultado mostrado no gráfico especificamente para a faixa de irradiâncias de $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$  é geral. Em nenhuma das outras 2800 simulações das demais faixas de irradiância do arranjo 16x1 foram encontrados máximos locais com diferenças de tensões menores que $10,67$ $V$. Assim, se não há máximos locais mais próximos do que $10.67 V$ no eixo das tensões, também não é possível encontrar um máximo global com diferença de tensão menor que $10,67$ $V$ de qualquer máximo local. Consequentemente, para um sistema centralizado com arranjo 16x1 numa temperatura de $25^{o}C$, após o algoritmo encontrar um máximo local, ele pode instantaneamente tentar um passo de $10,67$ $V$ para então prosseguir a busca.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Diferença de tensão entre máximos de picos adjacentes para as 400 simulações da faixa de irradiâncias de $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ para o arranjo 16x1 com temperatura de $25^{o}C$ nos módulos.\label{fig_15distancia_locais_fig_16x1_S100a1000}}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cap2/Figuras/15distancia_locais_fig_16x1_S100a1000.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

No entanto, esse resultado não pode ser estendido para o caso em que conexões série de módulos são postas em paralelo. Em arranjos série-paralelo não se consegue definir uma diferença mínima de tensão entre máximos de picos adjacentes, pois, na análise estatística, foram encontrados máximos locais tão próximos quanto à resolução de voltímetros comerciais, como mostra o gráfico da Figura \ref{fig_16distancia_locais_fig_8x2_S100a1000}. A Tabela \ref{tab_diferencas} também ilustra a perda da característica de uma diferença mínima entre máximos de picos adjacentes maior que $0,5$ $V$ quando se tem conexões série-paralelo. Nesta tabela, estão mostradas as distâncias mínimas do conjunto de 400 simulações de algumas faixas de irradiâncias para os três arranjos estudados.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Diferença de tensão entre máximos de picos adjacentes para as 400 simulações da faixa de irradiâncias de $100$ $W/m^{2}$ a $1000W/m^{2}$ para o arranjo 8x2 com temperatura de $25^{o}C$ nos módulos.\label{fig_16distancia_locais_fig_8x2_S100a1000}}
        \includegraphics[width=0.8\textwidth]{Cap2/Figuras/16distancia_locais_fig_8x2_S100a1000.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{table}[h!]
    \caption{Mínimas diferenças entre máximos de picos adjacentes com módulos a $25^{o}C$.}
    \begin{center}
        \label{tab_diferencas}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
        Faixa de irradiâncias & Arranjo 16x1 & Arranjo 8x2 & Arranjo 4x4 \\
        \hline
        $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 10,67 V & 0,04 V & 0,22 V \\
        \hline
        $300$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 10,86 V & 0,13 V & 0,26 V \\
        \hline
        $500$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 29,40 V & 0,78 V & 0,35 V \\
        \hline
        $600$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 30,04 V & 0,21 V & 0,48 V \\
        \hline
        $700$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 32,49 V & 0,02 V & 0,66 V \\
        \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \legend{Fonte: próprio autor.}
\end{table}

Observados os resultados já detalhados, os gráficos mostrados a seguir são consequências do estudo estatístico da distribuição dos pontos de máxima potência global já vistos. A Figura \ref{fig_17faixaPN16x1} é uma consequência desta distribuição para o arranjo 16x1 a uma temperatura de $25^{o}C$, já ilustrada no gráfico da Figura \ref{fig_12distribuicao16x1_allS}. O gráfico da Figura \ref{fig_17faixaPN16x1} é conseguido desenhando, sob cada GMPP das 3200 simulações, ($V_{GMPP,i}$,$P_{GMPP,i}$), pontos com a mesma tensão desse GMPP e com todas as potências de GMPPs menores que a sua, ou seja, pares ($V_{GMPP,i}$,$P_{GMPP,j}$), em que $P_{GMPP,j}<P_{GMPP,i}$, para $i,j=1,2,3,...,3200$ . Denomina-se cada linha horizontal do plano tensão-potência de linha de potência. Assim, o gráfico da Figura \ref{fig_17faixaPN16x1} grafa, na linha de potência de cada GMPP das 3200 simulações do arranjo 16x1, pontos em todas as tensões onde as demais simulações encontraram o GMPP com a potência maior que a desta linha horizontal. Ou seja, na linha de potência de cada GMPP estão grafadas projeções ortogonais de todos os GMPPs com potência maior que a desta linha de potência.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Gráfico das tensões que geraram pontos de máxima potência globais com potências maiores que cada patamar de potência no arranjo 16x1 com a temperatura de $25^{o}C$.\label{fig_17faixaPN16x1}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/17faixaPN16x1.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Este gráfico tem significado relevante para os algoritmos GMPPT. Numa determinada temperatura, ao se obter qualquer potência, não é mais necessário procurar a máxima potência global nas faixas de tensão onde só é estatisticamente possível se encontrar pontos de máxima potência globais com potência menor que a atual, pois, esses pontos não serão os máximos globais desta curva atual. Da mesma forma, as Figuras \ref{fig_18faixaPN8x2} e \ref{fig_19faixaPN4x4} são uma consequência das distribuições dos pontos de máxima potência globais dos arranjos 8x2 e 4x4 a uma temperatura de $25^{o}C$, já ilustradas nas Figuras \ref{fig_13distribuicao8x2_allS} e \ref{fig_14distribuicao4x4_allS}.

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Gráfico das tensões que geraram pontos de máxima potência global com potências maiores que cada patamar de potência no arranjo 8x2 com a temperatura de $25^{o}C$.\label{fig_18faixaPN8x2}}
        \includegraphics[width=0.55\textwidth]{Cap2/Figuras/18faixaPN8x2.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Gráfico das tensões que geraram pontos de máxima potência global com potências maiores que cada patamar de potência no arranjo 4x4 com a temperatura de $25^{o}C$.\label{fig_19faixaPN4x4}}
        \includegraphics[width=0.55\textwidth]{Cap2/Figuras/19faixaPN4x4.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Por fim, a última investigação estatística com uso de irradiâncias aleatórias alterou a temperatura dos módulos a fim de verificar se, para outras temperaturas, os comportamentos estudados para os módulos a $25^{o}C$ se mantêm. A Figura \ref{fig_20faixaPN_allT16x1} mostra o mesmo gráfico da Figura \ref{fig_17faixaPN16x1} superposto por dois gráficos resultantes de estudos semelhantes ao dele, porém realizados com $30^{o}C$ e $75^{o}C$ nas células. Portanto, para elaborar cada um destes gráficos em azul e vermelho foram necessárias 3200 novas simulações do arranjo 16x1 com 3200 casos de 16 irradiâncias aleatórias, exatamente como nas análises anteriores. Porém, para o gráfico em azul, todos os módulos tiveram uma temperatura de $30^{o}C$ e, para o gráfico em vermelho, todos os módulos tiveram uma temperatura de $75^{o}C$ em suas células.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Gráficos das tensões que geraram pontos de máxima potência global maiores que cada patamar de potência nos estudos estatísticos do arranjo 16x1 com as temperatura de $25^{o}C$, $30^{o}C$ e $75^{o}C$.\label{fig_20faixaPN_allT16x1}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/20faixaPN_allT16x1.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Desta forma, pode-se observar que o aumento da temperatura fez as distribuições dos pontos globais de máxima potência escalonarem com um ganho menor que um, tanto na tensão quanto na potência, e deslocarem para o sentido de menor tensão e menor potência. Com isso, uma distribuição mais geral, válida pra toda uma faixa de temperaturas viáveis para módulos fotovoltaicos instalados ao redor do mundo, perde a distribuição com faixas de tensão de busca, onde é possível encontrar o GMPP, separadas por faixas de tensão onde é improvável encontrar o GMPP. O gráfico em azul tem uma diferença de temperatura de $5^{o}C$ em relação ao gráfico em preto e pode-se perceber que ele é similar ao gráfico em preto com um pequeno deslocamento e um pequeno escalonamento. Já o gráfico em vermelho tem uma diferença de temperatura de $50^{o}C$ em relação ao gráfico em preto e pode-se perceber que ele é similar ao gráfico em preto com um grande deslocamento e um grande escalonamento. Estes escalonamentos e deslocamentos dos gráficos para temperaturas superiores aconteceram de forma que, para as três temperaturas, os gráficos tem uma mesma reta assíntota. Assim, é de se esperar que, caso se plotasse gráficos semelhantes para infinitas temperaturas entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$, que os infinitos gráficos sobrepostos preenchessem uma região triangular como à da Figura \ref{fig_21faixaPN_allT16x1_triangulo}, definida pela reta assíntota aos três gráficos, uma reta vertical com o valor da tensão do GMPP de maior tensão encontrado e o eixo das tensões.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Região do plano tensão-potência que engloba todos os pontos de máxima potência globais possíveis para o arranjo 16x1 com 16 irradiâncias aleatórias em qualquer temperatura entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$.\label{fig_21faixaPN_allT16x1_triangulo}}
        \includegraphics[width=1\textwidth]{Cap2/Figuras/21faixaPN_allT16x1_triangulo.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

De forma semelhante caso se considerasse que os módulos pudessem ter valores diferentes de temperatura na mesma faixa entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$, o comportamento esperado, extrapolando esta análise, seriam distribuições de GMPPs no interior desta região triangular, resguardando a reta assintota e nunca obtendo-se GMPPs com tensões maiores que a de GMPPs de arranjos com todos os módulos na temperatura máxima da faixa, $25^{o}C$. Assim, é possível inferir que para qualquer temperatura entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$, nos casos estudados onde os 16 módulos estão expostos a 16 irradiâncias diferentes escolhidas aleatoriamente em qualquer uma das faixas de $100W/m^{2}$ a $1000W/m^{2}$, o GMPP do sistema fotovoltaico com o arranjo 16x1 está inserido na região triangular determinada neste gráfico.

Durante um evento de sombreamento, o ponto de operação cai para o ponto da nova curva característica tensão-potência que tem a mesma tensão de anteriormente ao sombreamento. Este comportamento está ilustrado na Figura \ref{fig_27uma_curva_3} pela mudança do ponto de operação de um sistema fotovoltaico do ponto A, que é o ponto de máxima potência de uma situação hipotética não sombreada, para o ponto B após o sombreamento. Desta forma, caso o sombreamento se dê por 16 irradiâncias diferentes dentro de uma das faixas assumidas, em um sistema com arranjo 16x1 a qualquer temperatura inferior a $75^{o}C$, a linha de potência vermelha, do ponto B, indica as tensões onde ainda é necessário buscar o GMPP.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Linha de potência onde é necessária a busca do ponto de máxima potência global, logo após um sombreamento com 16 irradiâncias dentro das faixas assumidas em qualquer temperatura inferior a $75^{o}C$.\label{fig_27uma_curva_3}}
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{Cap2/Figuras/27uma_curva_3.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Da mesma forma, para os arranjos 8x2 e 4x4 também foram realizadas análises estatísticas com as temperaturas de $30^{o}C$ e $75^{o}C$ que observaram os mesmos comportamentos de deslocamento e de escalonamento em relação aos gráficos das Figuras \ref{fig_18faixaPN8x2} e \ref{fig_19faixaPN4x4}. Os resultados são semelhantes ao do arranjo 16x1 e estão mostrados nos gráficos das Figuras \ref{fig_22faixaPN_allT8x2_triangulo} e \ref{fig_23faixaPN_allT4x4_triangulo}, que levam também às mesmas conclusões sobre uma região triangular do plano tensão-potência onde a busca do GMPP destes sistemas em situação de sombreamento aleatório é necessária.

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Região do plano tensão potência que engloba todos os pontos de máxima potência globais possíveis para o arranjo 8x2 com 16 irradiâncias aleatórias em qualquer temperatura entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$.\label{fig_22faixaPN_allT8x2_triangulo}}
        \includegraphics[width=0.82\textwidth]{Cap2/Figuras/22faixaPN_allT8x2_triangulo.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Região do plano tensão potência que engloba todos os pontos de máxima potência globais possíveis para o arranjo 4x4 com 16 irradiâncias aleatórias em qualquer temperatura entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$.\label{fig_23faixaPN_allT4x4_triangulo}}
        \includegraphics[width=0.82\textwidth]{Cap2/Figuras/23faixaPN_allT4x4_triangulo.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

\subsection{Novos resultados para características de decrescimento dos picos locais}

Ao fim de cada uma das curvas das 3200 simulações de cada arranjo construído para este estudo estatístico, um algoritmo de análise de dados foi realizado a fim de verificar casos onde a curva característica tensão-potência conseguida com cada conjunto aleatório de 16 irradiâncias invalida a hipótese, antes mencionada, da natureza continuamente decrescente dos máximos locais aos dois lados do máximo global. Um número relevante de casos apresentou curvas onde esta hipótese falha. A Tabela \ref{tab_falhas} mostra o número de falhas da hipótese para cada arranjo, faixa de irradiâncias e temperatura nos módulos. Exemplos de curvas onde esta hipótese falha estão mostrados na Figura \ref{fig_24falhas_hipotese} e na Tabela \ref{tab_irradiancias}.

\begin{table}[h!]
    \caption{Número de curvas que onde se observou falha na hipótese do descrescimento uniforme dos máximos de picos de potência locais bilateralmente ao pico global, dentre as 9600 simulações realizadas.}
    \begin{center}
        \label{tab_falhas}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
         & \multicolumn{3}{|c|}{Arranjo 16x1} & \multicolumn{3}{|c|}{Arranjo 8x2} & \multicolumn{3}{|c|}{Arranjo 4x4} \\
        \hline
        módulo & $25^{o}C$ & $30^{o}C$ & $75^{o}C$ & $25^{o}C$ & $30^{o}C$ & $75^{o}C$ & $25^{o}C$ & $30^{o}C$ & $75^{o}C$ \\
        \hline
        $100$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 205 & 232 & 226 & 194 & 198 & 201 & 163 & 161 & 183 \\
        \hline
        $200$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 218 & 275 & 348 & 190 & 303 & 285 & 177 & 178 & 187 \\
        \hline
        $300$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 202 & 280 & 338 & 159 & 188 & 176 & 184 & 196 & 190 \\
        \hline
        $400$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 137 & 319 & 380 & 141 & 284 & 261 & 205 & 206 & 175 \\
        \hline
        $500$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 63 & 167 & 136 & 119 & 104 & 102 & 176 & 180 & 140 \\
        \hline
        $600$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 7 & 52 & 22 & 65 & 68 & 46 & 129 & 124 & 54 \\
        \hline
        $700$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 0 & 10 & 2 & 19 & 18 & 5 & 27 & 26 & 5 \\
        \hline
        $800$ $W/m^{2}$ a $1000$ $W/m^{2}$ & 0 & 31 & 10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
        \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \legend{Fonte: próprio autor.}
\end{table}
\begin{table}[h!]
    \caption{Conjunto de irradiâncias que geraram as seis curvas da Figura \ref{fig_24falhas_hipotese}.}
    \begin{center}
        \label{tab_irradiancias}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
         & \multicolumn{2}{|c|}{Arranjo 16x1} & \multicolumn{2}{|c|}{Arranjo 8x2} & \multicolumn{2}{|c|}{Arranjo 4x4} \\
        \hline
        módulo & $30^{o}C$ & $75^{o}C$ & $25^{o}C$ & $75^{o}C$ & $25^{o}C$ & $30^{o}C$ \\
        \hline
        S1 ($W/m^{2}$) & 747.7 & 727.7 & 996.7 & 881.6 & 528.0 & 262.8 \\
        \hline
        S2 ($W/m^{2}$) & 804.5 & 679.5 & 532.4 & 718.0 & 426.2 & 225.6 \\
        \hline
        S3 ($W/m^{2}$) & 502.4 & 381.5 & 508.1 & 952.8 & 809.3 & 334.5 \\
        \hline
        S4 ($W/m^{2}$) & 793.8 & 770.9 & 343.4 & 625.4 & 802.2 & 619.3 \\
        \hline
        S5 ($W/m^{2}$) & 888.7 & 779.6 & 508.7 & 849.4 & 701.6 & 873.0 \\
        \hline
        S6 ($W/m^{2}$) & 828.5 & 475.3 & 332.4 & 838.6 & 220.1 & 445.1 \\
        \hline
        S7 ($W/m^{2}$) & 764.1 & 226.2 & 653.7 & 916.1 & 119.4 & 352.9 \\
        \hline
        S8 ($W/m^{2}$) & 912.8 & 874.8 & 832.9 & 839.8 & 603.8 & 252.0 \\
        \hline
        S9 ($W/m^{2}$) & 981.2 & 816.2 & 741.7 & 938.9 & 370.7 & 956.8 \\
        \hline
        S10 ($W/m^{2}$) & 656.8 & 607.7 & 362.9 & 663.4 & 945.4 & 395.8 \\
        \hline
        S11 ($W/m^{2}$) & 898.5 & 765.5 & 356.6 & 981.0 & 982.8 & 700.3 \\
        \hline
        S12 ($W/m^{2}$) & 642.5 & 832.9 & 844.0 & 865.5 & 357.9 & 365.3 \\
        \hline
        S13 ($W/m^{2}$) & 507.4 & 464.5 & 933.5 & 950.8 & 820.7 & 393.3 \\
        \hline
        S14 ($W/m^{2}$) & 547.0 & 930.9 & 673.6 & 647.0 & 906.5 & 794.7 \\
        \hline
        S15 ($W/m^{2}$) & 664.3 & 661.3 & 376.4 & 903.0 & 637.7 & 324.8 \\
        \hline
        S16 ($W/m^{2}$) & 652.7 & 430.3 & 878.0 & 797.3 & 895.6 & 858.5 \\
        \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \legend{Fonte: próprio autor.}
\end{table}

\begin{figure}[h!]
    \begin{center}
        \caption{Exemplo de 6 curvas obtidas, dentre as 9600 plotadas, em que falha a hipótese do descrescimento uniforme dos máximos de picos de potência locais bilateralmente ao pico global.\label{fig_24falhas_hipotese}}
        \includegraphics[width=0.87\textwidth]{Cap2/Figuras/24falhas_hipotese.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

É importante dizer, que qualquer ponto ou conjunto de pontos de mesma potência cujos pontos adjacentes de ambos lados tem potência menor que a sua foram considerados máximos locais. Assim, embora o número de falhas obtido indique mais situações de falha de hipótese do que de validação, as falhas, em boa parte, são suaves e pouco perceptíveis sem ferramentas de zoom. No entanto, muitas curvas apresentam falhas claramente perceptíveis. Alguns autores, como Bidram, Davoudi e Balog \cite{Bidram}, Patel e Agarwal \cite{Patel} e Tey e Mekhilef \cite{Tey}, fazem uso desta falsa hipótese para, inclusive, proporem suas técnicas de MPPT global. Assim, situações de sombreamento que geram curvas que não respeitam essas hipóteses podem fazer as técnicas destes autores falharem na tarefa de encontrar o GMPP.

Estas três técnicas \cite{Tey, Patel, Bidram}, ao encontrarem um pico com ponto máximo menor que outro já encontrado, cessam o rastreamento. Portanto, caso a curva deste sistema volte a apresentar crescimento do máximo de picos locais apresentando inclusive seu pico global após um decrescimento, estes algoritmos perderão o pico global e, assim, o GMPP. Ao perder o pico global, o algoritmo levará a operação do sistema para uma potência abaixo da que poderia estar gerando nestas condições ambientais. Isto representa uma perda de potência ao longo do tempo, talvez por horas.

\subsection{Resultados estatísticos para irradiâncias não aleatórias e repetidas}{\label{subsecao_triangulo}}

Vistos os resultados conseguidos nas simulações com iradiâncias aleatórias, para que se consiga uma região de busca que concentre todos as possibilidades de pontos de máxima potência de qualquer combinação de temperatura e irradiâncias, inferiores aos limites máximos escolhidos como $T=75^{o}C$ e $1000$ $W/m^{2}$, é necessária uma investigação estatística complementar. Na Seção \ref{secao_aleatorias}, ao se gerar irradiâncias aleatórias dentro de uma faixa contínua de números reais, não foram geradas duas irradiâncias iguais numa mesma simulação. Desta forma, todo estudo da Seção \ref{secao_aleatorias} foi realizado com completo descasamento entre as irradiâncias dos módulos.

Quando módulos estão a uma mesma irradiância e temperatura, eles apresentam curvas características individuais iguais e diz-se que eles estão casados. Para cada tensão no barramento, módulos casados em uma mesma conexão série apresentam, a cada instante, mesmas tensão, corrente e, consequentemente, potência. Portanto, módulos casados em série contribuem para a potência do arranjo da mesma forma para qualquer tensão do arranjo. Já módulos casados em conexões séries diferentes expostas a conjuntos de irradiâncias diferentes, embora tenham curvas características iguais, não têm comportamento dinâmico igual, pois interagem com os demais módulos de sua conexão série. Portanto, nestas condições, módulos casados podem contribuir de forma diferente para a potência do arranjo série-paralelo.

Numa conexão série, a conexão em paralelo de cada módulo e seu diodo de passagem apresentam a mesma corrente. Caso a corrente de uma conexão série, passando pelos demais módulos com menor irradiância ocasione em alguns destes módulos uma tensão negativa superior em módulo à tensão de condução do diodo de passagem destes módulos, estes diodos conduzirão. Quando o diodo de passagem de um módulo conduz, este módulo não gerará qualquer potência, uma vez que não há corrente o atravessando. A conexão paralela entre módulo e diodo trará, neste caso, uma perda de potência para a conexão série da magnitude da multiplicação entre a corrente da conexão série e a tensão de condução do diodo.

Num sobreamento parcial do arranjo 16x1 em que quatro módulos estão com irradiância de $1000$ $W/m^{2}$ e os outros doze com irradiância de $200$ $W/m^{2}$, a corrente do GMPP do arranjo é a corrente do MPP dos módulos de maior irradiância. Neste caso, esta corrente leva todos os doze módulos com irradiância de $200$ $W/m^{2}$ para tensões negativas superiores, em módulo, à tensão de condução dos diodos de passagem. Assim, todos os 12 diodos em paralelo com esses módulos conduzirão e ceifarão a tensão destes 12 módulos no negativo da tensão de condução dos diodos. Desta forma, apenas os 4 módulos de maior irradiância gerarão potência. A tensão do ponto de máxima potência do arranjo será igual à soma das 4 tensões do ponto de máxima potência dos 4 módulos de maior irradiância menos a soma das 12 tensões de condução dos diodos. Já a potência do ponto de máxima potência do arranjo será a soma das potências do ponto de máxima potência dos quatro módulos de maior irradiância menos a perda de potência nos 12 diodos, que será 12 vezes a tensão de condução destes diodos vezes a corrente do ponto de máxima potência dos quatro módulos de maior irradiância. A Figura \ref{fig_28escada4x1000_8x200} mostra a curva tensão potência do arranjo 16x1 nesta situação de irradiâncias. A tensão do ponto de máxima potência deste sistema é igual a $98,73 V$. A tensão e a corrente do ponto de máxima potência de um módulo com irradiância de $1000$ $W/m^{2}$ são $26,94 V$ e $7,46 A$, respectivamente. Assim, a tensão do ponto de máxima potência desta figura, considerando $0,7525V$ de queda em cada diodo, se dá conforme esta análise:
\begin{equation}
    \label{eq_Voc_T}
    V_{GMPP} = 98,73 = 4V_{MPP,1x1000W/m^{2}}-12V_{diodo} = 4(26,94)-12(0,7525).
\end{equation}

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Curva tensão-potência com apenas duas irradiâncias diferentes, $200$ $W/m^{2}$ incidindo sobre 8 módulos e $1000$ $W/m^{2}$ incidindo sobre 4 módulos.\label{fig_28escada4x1000_8x200}}
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{Cap2/Figuras/28escada4x1000_8x200.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Este foi apenas um exemplo. No entanto, para realizar a análise de como se comporta o sistema mediante sombreamentos com irradiâncias repetidas, realizou-se um estudo estatístico verificando como se comporta a distribuição dos pontos de máxima potência globais nas situações onde as irradiâncias repetidas fossem capazes de, potencialmente, extrapolar a região definida no estudo estatístico com irradiâncias aleatórias. Assim, foram realizadas 136 simulações do arranjo 16x1 com apenas duas irradiâncias distintas, uma delas sempre sendo $1000$ $W/m^{2}$ e a outra, denominada $S_{rep}$, assumindo nove valores distintos. Para cada valor de $S_{rep}$ foram realizadas 15 simulações variando o número de módulos com a esta irradiância, $N_{rep}$, de 1 até 15 e consequentemente variando o número complementar de módulos com a irradiância máxima de $1000$ $W/m^{2}$, $16-N_{rep}$ de 15 até 1. Assim, escolheu-se o primeiro valor da irradiância diferente da máxima como $S_{rep} = 100$ $W/m^{2}$ e a primeira simulação foi realizada com $N_{rep}=1$ módulo com a irradiância $S_{rep} = 100$ $W/m^{2}$ e 15 módulos com $1000$ $W/m^{2}$. Com o mesmo valor de $S_{rep}$, a segunda simulação foi realizada com $N_{rep}=2$ módulos com a irradiância $S_{rep} = 100$ $W/m^{2}$ e 14 módulos com $1000$ $W/m^{2}$, e assim sucessivamente até a décima quinta simulação com $N_{rep}=15$ módulos com a irradiância $S_{rep} = 100$ $W/m^{2}$ e um módulo com $1000$ $W/m^{2}$. Depois, fez-se $S_{rep}$ assumir os valores $200$ $W/m^{2}$, $300$ $W/m^{2}$, $400$ $W/m^{2}$,  $500$ $W/m^{2}$, $600$ $W/m^{2}$, $700$ $W/m^{2}$, $800$ $W/m^{2}$ e $900$ $W/m^{2}$ realizando, da mesma forma, 15 simulações para cada um destes valores, totalizando $15$x$9=135$ simulações. A simulação 136 foi obtida com todos os módulos com $1000$ $W/m^{2}$. Os GMPPs obtidos nestas 136 simulações tiveram a distribuição mostrada na Figura \ref{fig_29escada}.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais em sombreamentos com apenas duas irradiâncias.\label{fig_29escada}}
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{Cap2/Figuras/29escada.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

É interessante notar a presença de vários pontos perfeitamente alinhados. Mais que isso, alguns destes pontos alinhados são a superposição exata de vários pontos. Por exemplo, as simulações com oito módulos com $100$ $W/m^{2}$ e o restante a $1000$ $W/m^{2}$, com oito módulos com $200$ $W/m^{2}$ e o restante a $1000$ $W/m^{2}$, com oito módulos com $300$ $W/m^{2}$ e o restante a $1000$ $W/m^{2}$ e com oito módulos com $400$ $W/m^{2}$ e o restante a $1000$ $W/m^{2}$ tem o mesmo GMPP, conseguidos com oito módulos em seus pontos de máxima potência individuais e oito módulos desativados por seus diodos de passagem. O que acontece é que todos os pontos alinhados são máximos globais de simulações que apresentaram a mesma corrente no ponto de máxima potência. Nos gráficos de tensão-potência, a informação da corrente do arranjo série é a tangente da inclinação de uma reta que liga a origem a qualquer ponto da curva.
\begin{equation}
    \label{eq_Voc_T}
    \alpha=tg^{-1}\left(\frac{P}{V}\right)=tg^{-1}\left(\frac{VI}{V}\right)=tg^{-1}(I).
\end{equation}

Desta forma, todos os pontos alinhados têm a mesma corrente de circulação. Eles estão sobre uma reta cuja inclinação é o arcotangente da corrente do ponto de máxima potência de um módulo com $1000$ $W/m^{2}$ e $25^{o}C$, ou seja, a corrente de máxima potência na \emph{STC}, $I_{MPP,STC}$. Estes pontos alinhados são caracterizados por situações onde só os módulos com $1000$ $W/m^{2}$ estão gerando e os demais módulos estão desativados por seus diodos de passagem. Desta forma, este capítulo é concluído com o resultado ilustrado na Figura \ref{fig_26posicao_mais_escada1000}. Como todo o estudo foi construído para hipótese de uma irradiância máxima de  $1000$ $W/m^{2}$, o triângulo formado pela reta com a inclinação igual ao arcotangente da corrente de máxima potência na \emph{STC}, pelo eixo das tensões e pela reta vertical na maior tensão das 9600 simulações do arranjo 16x1 engloba todos os pontos de máxima potência globais que qualquer simulação deste arranjo com irradiância inferior a $1000$ $W/m^{2}$ e temperatura inferior a $25^{o}C$ possa ter. Portanto, este triângulo é nomeado por Triângulo dos GMPPs e está ilustrado na cor clara, englobando o triângulo de cor escura conseguido no estudo com irradiâncias aleatórias. Os pontos em preto são os pontos de máxima potência do estudo com irradiâncias aleatórias, os pontos em vermelho são os pontos de máxima potência do estudo desta seção e o ponto em amarelo é o ponto da simulação do arranjo 16x1 com todos os módulos com $1000$ $W/m^{2}$.

\begin{figure}[t!]
    \begin{center}
        \caption{Distribuição dos pontos de máxima potência globais em sombreamentos genéricos.\label{fig_26posicao_mais_escada1000}}
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{Cap2/Figuras/26posicao_mais_escada1000.pdf}
        \legend{Fonte: próprio autor.}
    \end{center}
\end{figure}

Esta mesma inclinação indicadora da corrente de máxima potência na \emph{STC} de uma conexão série de módulos a $25^{o}C$ pode ter seu resultado generalizado para qualquer temperatura inferior a $75^{o}C$ nos módulos. Uma análise estatística semelhante à feita nesta seção para o arranjo 16x1 a $25^{o}C$ foi realizada para os módulos a $75^{o}C$. Neste caso, a inclinação da reta que passou pelos vários pontos de máxima potência alinhados desta análise foi aproximadamente igual, uma vez que a corrente de máxima potência na \emph{STC} de uma conexão série de módulos a $25^{o}C$ é de $7,46 A$ e a corrente de máxima potência de uma conexão série com todos os módulos a $1000$ $W/m^{2}$ e $75^{o}C$ é $7,40A$. Correntes de máxima potência decrescentes são encontradas à medida que a temperatura é aumentada.

Os resultados para o arranjo 16x1 são gerais para qualquer conexão série de módulos. Nos arranjos 8x2 e 4x4, conexões séries são ligadas em paralelo. Com a hipótese de irradiâncias e temperaturas inferiores a $1000$ $W/m^{2}$ e $75^{o}C$,  cada conexão série tem pontos de máxima potência com no máximo a corrente de máxima potência na \emph{STC}. Assim, o arranjo 8x2, que tem dois arranjos série em paralelo, tem seus pontos de máxima potência com no máximo duas vezes a corrente de máxima potência na \emph{STC} e o arranjo 4x4, que tem quatro arranjos série em paralelo, tem seus pontos de máxima potência com no máximo quatro vezes a corrente de máxima potência na \emph{STC}. Neste trabalho, o plano tensão-potência é normalizado pela potência de um arranjo de 16 módulos na STC, que é de $3214,8W$ independentemente do arranjo, e pela tensão de circuito aberto de cada arranjo. Desta forma, a inclinação da reta que indica a corrente de máxima potência STC destes três arranjos no gráfico normalizado é a mesma, pois:
\begin{equation}
\label{eq_xSVM_valores_tau}
\left\{\begin{array}{lll}
  \alpha_{I_{GMPP,STC}}=tg^{-1}(I_{GMPP,STC,norm})=tg^{-1}\left(\frac{\frac{16V_{MPP,STC}I{MPP,STC}}{3214.8}}{\frac{16V_{MPP,STC}}{16V_{oc,STC}}}\right), \\
  %\vspace{0.1mm} \\
  \alpha_{I_{GMPP,STC}}=tg^{-1}\left(\frac{\frac{8V_{MPP,STC}2I{MPP,STC}}{3214.8}}{\frac{8V_{MPP,STC}}{8V_{oc,STC}}}\right), \\
  %\vspace{0.1mm} \\
  \alpha_{I_{GMPP,STC}}=tg^{-1}\left(\frac{\frac{4V_{MPP,STC}4I{MPP,STC}}{3214.8}}{\frac{4V_{MPP,STC}}{4V_{oc,STC}}}\right). \\
\end{array}\right.
\end{equation}

\section{Conclusão}{\label{secao_revisao_estatistica}}

Este capítulo apresentou diversos resultados estatísticos sobre as curvas características do sombreamento parcial e sobre distribuições dos pontos de máxima potência globais de sistemas fotovoltaicos no plano tensão-potência. Como primeiro resultado, foram obtidas algumas curvas que invalidam hipóteses assumidas na literatura por diversos autores na construção de seus algoritmos de GMPPT.
Como resultado principal, após longo estudo que começou com simulações estatísticas de sistemas fotovoltaicos em três arranjos com irradiâncias aleatórias a $25^{o}C$, avançou realizando as simulações estatísticas dos três arranjos para temperaturas de $30^{o}C$ e $75^{o}C$ e ganhou generalidade realizando simulações para os três arranjos com irradiâncias não aleatórias e repetidas, uma região triangular do plano tensão-potência que concentra todos os possíveis pontos de máxima potência de um arranjo fotovoltaico série-paralelo com irradiâncias menores ou iguais a $1000$ $W/m^{2}$ e temperaturas entre $25^{o}C$ e $75^{o}C$ foi obtida. Esta região triângular do plano tensão-potência com o eixo das tensões normalizado pelo número de módulos de um arranjo série da conexão série-paralelo pode ser definida da mesma forma para qualquer arranjo série-paralelo e recebeu o nome de Triângulo dos GMPPs.

Esta região é menor que outra região semelhante proposta por Boztepe \emph{et al.} e portanto, ela pode levar a construção de algoritmos de GMPPT com faixas de tensão de busca mais restritas e, portanto, mais rápidos, como será mostrado no Capítulo \ref{capitulo_tecnicas}.

